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已知函數f(x)=5-

6

x

，數列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若對于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求實數a的值；
（2）若對于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求實數a的取值范圍；
（3）請你構造一個無窮數列{b_n}，使其滿足下列兩個條件，并加以證明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②當a為{b_n}中的任意一項時，{a_n}中必有某一項的值為1．

已知函數f（x）的定義域為（-1，1），且同時滿足下列3個條件：
①f（x）是奇函數；
②f（x）在定義域上單調遞減；
③f（1-a）+f（1-a²）＜0．
求a的取值范圍．

已知函數f（x）的定義域為[0，1]，且滿足下列條件：
①對于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求證：f（x）≤4；
（Ⅲ）當x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，…)時，試證明：f（x）＜3x+3．

已知函數f(x)=ax3+

b

x2-a2x(a＞0)，存在實數x₁，x₂滿足下列條件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2
（1）證明：0＜a≤3；（2）求b的取值范圍；
（3）若函數h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），證明：當x₁＜x＜2時|h（x₁）|≤12a．

已知函數f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，數列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足條件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N^*），cn=

1

[ 1 2 f(n)+ 1 2 ][g(n)+3]

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{c_n}的前n項和T_n，并求使得Tn＞

m

150

對任意n∈N^*都成立的最大正整數m；
（Ⅲ）求證：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

1

3

．