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已知某橢圓的焦點是（－4，0），（4，0），過點并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|＋｜｜＝10．橢圓上不同的兩點A（，），C（，）滿足條件：｜A｜，|B｜，|C｜成等差數列．

　　（1）求該橢圓的方程；

　　（2）求弦AC中點的橫坐標；

　　（3）設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

 

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（本小題滿分12分）
已知橢圓C₁和拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點，從它們每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于下表中：   

x	5	－	4
y	2	0	－4		－

（Ⅰ）求C₁和C₂的方程；
（Ⅱ）過點S（0，－）且斜率為k的動直線l交橢圓C₁于A、B兩點，在y軸上是否存在定點D，使以線段AB為直徑的圓恒過這個點?若存在，求出D的坐標，若不存在，說明理由．

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（本小題滿分12分）.
如圖，已知某橢圓的焦點是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上不同的兩點A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列.

(1)求該弦橢圓的方程；
(2)求弦AC中點的橫坐標；
(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

  5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

A

C

A

B

D

C

B

C

二、填空題

13.  ；14.　5　；15. 　；16.  ；17. ①③⑤．

三、解答題（本大題共5題，共.44分，解答題應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）

18.解：∵ 橢圓的焦點坐標為（－4，0）和（4，0），……………………2分

則可設雙曲線方程為（a＞0，b＞0），

∵ c＝4，又雙曲線的離心率等于2，即，∴ a＝2．……………………………4分

∴ ＝12． ………6分；故所求雙曲線方程為．　…………8分

19．解：　　 ……………………………………………………2分

……………4分；所以，

由在直線上，故 …………………6分

 ……………………………………………………………8分

20．解：對任意實數都有恒成立；2分

關于的方程有實數根；………………………4分

∨為真命題，∧為假命題，即P真Q假，或P假Q真，……………………5分

如果P真Q假，則有；…………………………………6分

如果P假Q真，則有．………………………………………7分

所以實數的取值范圍為． ……………………………………………8分

21. 解：由已知得，點A在x軸上方，設A，

由得，所以A(1，2)，……2分；同理B(4,-4),   …3分

所以直線AB的方程為.……………………………………………4分

設在拋物線AOB這段曲線上任一點，且.

   則點P到直線AB的距離d= …6分

所以當時，d取最大值，………7分；又……………8分

所以△PAB的面積最大值為  ………………………9分

此時P點坐標為.…………………………………………………………10分

22．解：設池底半徑為，池高為，成本為，則：

　…………………………………………………………………2分

 …………………4分

　　　　　　　　　　……………………………………………5分

令，得 …………………………………………6分

又時，，是減函數；　……………………………7分

時，，是增函數；　……………………………8分

所以時，的值最小，最小值為……………………9分

答：當池底半徑為4米，桶高為6米時，成本最低，最低成本為元.………10分

（三章內容分配：第一章21分，第二章47分，第三章32分）