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設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R上的奇函數．
（1）求k的值，并證明當a＞1時，函數f（x）是R上的增函數；
（2）已知f(1)=

3

2

，函數g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，試問是否存在正整數λ，使得f（2x）≥λ•f（x）對x∈[-

1

2

，

1

2

]恒成立？若存在，請求出所有的正整數λ；若不存在，請說明理由．

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列，并求{a_n}的通項公式a_n；
（2）是否存在正整數n使得S1+

S2

2

+…+ 

Sn

n

 -(n-1)2=2009？若存在，求出n值；若不存在，說明理由．

記函數fn(x)=a•xn-1(a∈R，n∈N*)的導函數為

f

′ n

(x)，已知

f

′ 3

(2)=12．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）設函數gn(x)=fn(x)-n2Inx，試問：是否存在正整數n使得函數g_n（x）有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若實數x₀和m（m＞0，且m≠1）滿足：

f ′ n (x0)

f ′ n+1 (x0)

=

fn(m)

fn+1(m)

，試比較x₀與m的大小，并加以證明．