Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列，并求{a_n}的通項公式a_n；
（2）是否存在正整數n使得S1+

S2

2

+…+ 

Sn

n

 -(n-1)2=2009？若存在，求出n值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過na_n=S_n+2n（n-1），寫出當n≥2時（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），通過作差，證明數列{a_n}為等差數列，即可求出{a_n}的通項公式a_n；
（2）求出了的前n項和，求出

Sn

n

的表達式．然后利用等差數列求和，利用等式求出n的值即可．

解答：解：（1）因為na_n=S_n+2n（n-1），
當n≥2時（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
兩式作差，有（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4n-4，
⇒a_n-a_n-1=4，
又a₁=1，所以a_n=4n-3；
（2）由（1）可知數列是等差數列，
所以S_n=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1）⇒

Sn

n

=2n-1，
假設存在n滿足題設條件，則（2-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，
1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，

n(1+2n-1)

2

-（n-1）²=2009，
即2n-1=2009，所以n=1005．

點評：本題考查數列的判斷與證明，通項公式的求法，前n項和的求法，考查計算能力．