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(12分)已知函數(shù)，

(1)當時，求的反函數(shù)；

(2)求關(guān)于的函數(shù) 當時的最小值；

(3)我們把同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：①函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出的值或關(guān)系式；若不是，請說明理由；

(Ⅱ)若關(guān)于的函數(shù)是“和諧函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

已知函數(shù)．（）

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。

解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則在區(qū)間上恒成立．  …………3分

即，而當時，，故． …………5分

所以．                 …………6分

（2）令，定義域為．

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．   

∵        …………9分

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區(qū)間上遞增，

有，也不合題意；                     …………11分

② 若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是．        …………13分

綜合①②可知，當時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．

（本小題滿分12分）已知函數(shù)

（I）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；

（II）當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

（Ⅲ）求證：解：（1），其定義域為，則令，

則，

當時，；當時，

在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即當時，函數(shù)取得極大值.                                       （3分）

函數(shù)在區(qū)間上存在極值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，則，

，即在上單調(diào)遞增，                          （7分）

，從而，故在上單調(diào)遞增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，當時，恒成立，即，

令，則，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。