Question

(12分)已知函數，

(1)當時，求的反函數；

(2)求關于的函數 當時的最小值；

(3)我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；②在函數的定義域內存在區間使得函數在區間上的值域為.

(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數”？若是，求出的值或關系式；若不是，請說明理由；

(Ⅱ)若關于的函數是“和諧函數”，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）     (或)

（2）

【解析】解：(1)

(2)由已知得：

令，則 ，

1)當時，

2)當時，，

(3)(Ⅰ)對(2)中，易知在上為減函數，

1)若時，遞減，若是“和諧函數”，

則與矛盾；

2)若時，恒等.

此時滿足題意，所以這樣的存在；

3)若，則

 .

     (或)

(Ⅱ)在上單增，由“和諧函數”的定義知：該函數在定義域內，存在區間，使得該函數在上的值域為，所以，  ，為方程的二實根，

即方程在上存在兩個不等的實根，且恒成立，

令，