題目列表(包括答案和解析)
（09年江寧中學三月）（16分）已知函數
，
（
為常數）．函數
定義為：對每個給定的實數
，
（1）求
對所有實數成立的充分必要條件（用
表示）；
（2）設
是兩個實數，滿足
，且
．若
，求證：函數在區間
上的單調增區間的長度之和為
（閉區間
的長度定義為
）
（x∈R，p1，p2為常數），函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，
。
（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）。
，
（x∈R，p1，p2為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，
（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）
，
（x∈R，p1，p2為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，
（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）
，
（x∈R，p1，p2為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，
（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1．
2．
3．
4．
5．1 6．
7．
8．
9．16 10．8
11．
12．
13．
14． ①③
二、解答題：本大題共6小題，共90分．
15．(1)設集合
中的點
為事件
， 區域的面積為
36， 區域
的面積為
18
．
（2）設點
在集合為事件
， 甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點數為36個，其中在集合中的點有21個，故
．
16．（1）由4sinB ? sin2
+ cos2B = 1 +
得：
， 
或
．
（2）法1：
為銳角 
由已知得：
， 角
為銳角 
可得：
由正弦定理
得：
．
法2：由
得：
， 由余弦定理知：
即：
．
17．（1）證明：連接
，取
中點，連接
．
在等腰梯形
中，
∥
，AB=AD，
，E是BC的中點
與
都是等邊三角形 
平面
平面
平面 
．
（2）證明：連接
交
于點，連接
∥
，且
＝ 四邊形
是平行四邊形 
是線段的中點
是線段
的中點 
∥
平面
平面．
（3）
與平面
不垂直．
證明：假設
平面， 則
平面 
，
平面
平面
，這與
矛盾
與平面不垂直．
18．（1）設橢圓的標準方程為
依題意得：
，得
∴
所以，橢圓的標準方程為
．
（2）設過點的直線方程為：
，代入橢圓方程得;
(*)
依題意得：
，即
得：
，且方程的根為
當點
位于
軸上方時，過點與
垂直的直線與軸交于點
，
直線的方程是：
， 
所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為：
同理可得：當點位于軸下方時，圓的方程為：
．
（3）設
，
由
=
得：
，代入
（**） 要證
=
，即證
由方程組（**）可知方程組（1）成立,(2)顯然成立．∴
=
19.．解（1）
的解集有且只有一個元素，
當a=4時，函數
上遞減
故存在
，使得不等式
成立
當a=0時，函數
上遞增
故不存在，使得不等式成立
綜上，得a=4，
…………………………5分
（2）由（1）可知
當n=1時，
當
時，
（3）
，
…
+
=
+
>
>
20解：（1）由
的定義可知，
（對所有實數
）等價于
（對所有實數）這又等價于
，即
對所有實數均成立. （*）
由于
的最大值為
，
故（*）等價于
，即
，這就是所求的充分必要條件
（2）分兩種情形討論
（i）當
時，由（1）知（對所有實數
）
則由
及
易知
，
再由
的單調性可知，
函數在區間
上的單調增區間的長度
為
（參見示意圖1）
（ii）
時，不妨設
，則
，于是
當
時，有
，從而；
當
時，有
從而 
；
當
時，
，及
，由方程
解得
圖象交點的橫坐標為
⑴
顯然
，
這表明
在
與
之間。由⑴易知
綜上可知，在區間上，
（參見示意圖2）
故由函數
及
的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為
，由于
，即
，得
⑵
故由⑴、⑵得 
綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為
。
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