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類比學習：
我們已經知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的弧．
類似的，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，
新知探索：
圖（2）中，弧AB和弧CD度數分別為80°和30°，∠APB=______°，
歸納總結：
（1）圓周角的度數等于它所夾的弧的度數的一半；
（2）圓外角的度數等于______．
新知應用：
直線y=-x+m與直線y=x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，
設∠APC=θ．
①求A點坐標；         ②求⊙E的直徑；
③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數式表示）．

情境一

我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．我們還知道：①圓心角的度數等于與它所對的弧的度數，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．如圖1，∠LMN＝．

問題1  填空：如圖1，如果的度數是80，那么∠LMN的度數是______．

圖

1

情境二

小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續探索．

如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，

∴∠PTQ＝∠O＋∠P．

∴∠O＝∠PTQ －∠P．

∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半(已在情境一中

證明)，

∴∠PTQ＝，∠P＝．

∴∠O＝∠PTQ －∠P＝－＝(－)． 

經歷了上述探索、證明過程，小明發現了“圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半”這個正確結論．

問題2  填空：如圖2，如果＝80°，＝20°，那么∠O＝______°．

問題3  類比情境二的內容，請你就角的頂點在圓內的情況進行探索．寫出你的發現，并證明你的結論．

情境一
我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數等于與它所對的弧的度數，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．如圖1，∠LMN=．
問題1  填空：如圖1，如果的度數是80，那么∠LMN的度數是______．
情境二
小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=，∠P=．
∴∠O=∠PTQ-∠P=-=（）．
經歷了上述探索、證明過程，小明發現了“圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半”這個正確結論．
問題2  填空：如圖2，如果=80°，=20°，那么∠O=______°．
問題3  類比情境二的內容，請你就角的頂點在圓內的情況進行探索．寫出你的發現，并證明你的結論．