Question

（2012•南京二模）情境一
我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數等于與它所對的弧的度數，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．如圖1，∠LMN=

1

2

LN

．
問題1  填空：如圖1，如果

LN

的度數是80，那么∠LMN的度數是

40

．
情境二
小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=

1

2

PQ

，∠P=

1

2

RT

．
∴∠O=∠PTQ-∠P=

1

2

PQ

-

1

2

RT

=

1

2

（

PQ

-

RT

）．
經歷了上述探索、證明過程，小明發現了“圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半”這個正確結論．
問題2  填空：如圖2，如果

PQ

=80°，

RT

=20°，那么∠O=

30

°．
問題3  類比情境二的內容，請你就角的頂點在圓內的情況進行探索．寫出你的發現，并證明你的結論．

Answer 1

分析：問題1：根據圓心角定理得出

CN

所對圓心角度數，再利用圓周角定理得出答案即可．
問題2：利用證明的結論圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半，得出∠O的度數即可．
問題3：利用圖形可以得出圓內角的度數等于它和它的對頂角所對兩弧的度數和的一半，根據圓周角定理得出∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

，再利用三角形的外角性質得出答案即可．

解答：解：
問題1：
∵

LN

的度數是80，
∴

LN

所對圓心角為80°，
∴∠LMN的度數是：

1

2

×80=40，
故答案為：40．

問題2：∵圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半，

PQ

=80°，

RT

=20°
∴∠O=

1

2

（80°-20°）=30°．
故答案為：30；

問題3：頂點在圓內的角叫圓內角．（圓內角的名稱可以用其他名稱替代），
圓內角的度數等于它和它的對頂角所對兩弧的度數和的一半．
證明：如圖，延長BA，交圓于點D，延長CA，交圓于點E，連接CD．
∵∠BAC是△ACD 的一個外角，
∴∠BAC=∠C+∠D．
∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半（已在情境一中證明），
∴∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

．
∴∠BAC=∠C+∠D=

1

2

DE

+

1

2

BC

=

1

2

（

DE

+

BC

）．
∴命題成立．

點評：此題主要考查了圓周角定理的應用以及弧度與圓心角的關系和探索性問題，根據已知探索方法進行模仿變式進而得出新的規律是解題關鍵．