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已知函數f（x）=ax²+lnx（x＞0），g（x）=2x（x∈R），函數h（x）=f（x）-g（x）在區間（0，+∞）上為增函數．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）設f′（x）、h′（x）分別是f（x）、h（x）的導函數，若方程h′（x）=0在區間（0，+∞）上有唯一解，
①令函數m_n（x）=[f′（x）]ⁿ-f（xⁿ+

1

xn

），其中n∈N^*且n≥2.2函數y=m_n（x）在區間（0，+∞）上的最小值；
②求證：對任意的正實數x，都有

n

i=2

1

mi(x)

＜

5

6

．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????? 3分

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當且僅當時取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，當且僅當時取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）設袋中有黑球n個，則每次取出的一個球是黑球的概率為，    3分

設“連續取兩次，都是黑球”為事件A，∴，???????? 5分

∴，∴．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個球，取到紅球的概率是．???????? 7分

設“連續取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，

∴；?????????????????????? 8分

．???????????????????????? 10分

∴取到紅球恰為2次或3次的概率為．

故連續取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于.?????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設O是AA₁的中點，連接BO，則BO⊥AA₁．???????????????????????????????? 2分

∵側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．則，，，．??????????????????????????? 5分

設是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設A₁到平面ABC的距離為d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量．∴．???????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）證明：時，，；?????????????? 1分

時，，所以，???????????? 2分

即數列是以2為首項，公差為2 的等差數列．????????????? 3分

∴，，???????????????????? 4分

當時，，當時，．???????? 5分

∴ ???????????????????????? 6分

（Ⅱ）當時，，結論成立．????????????? 7分

當時，?????? 8分

＝

????????????????????? 10分

．???????????????????????? 11分

綜上所述：．????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比較系數得，，，．????????????????????????????????? 1分

∴，，，???????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函數有極大值，，極小值．????? 4分

∵函數在區間上存在極值，

∴或或???????????? 5分

解得或或．

故實數．??????????????????? 6分

（Ⅲ）函數的圖象與坐標軸無交點，有如下兩種情況：

（?）當函數的圖象與x軸無交點時，必須有：

即??????????? 7分

而，函數的值域為，

∴解得．???????????????????? 8分

（?）當函數的圖象與y軸無交點時，必須有：

即而有意義，    9分

∴即解得．??????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范圍是，

故實數p的取值范圍是．???????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）設，，，，

，，，，

．?????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．???????? 4分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，． ?????????????????? 5分

∴橢圓的方程為．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????? 7分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設，

，

∴，，?????????????????? 8分

∴，

由，?????????????????? 9分

，．??????????????????????? 10分

．??????????? 11分

（或）．

設，則，，，

∴S關于u在區間單調遞增，又，，???????? 13分

∴．???????????????????????????? 14