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已知S_n=a₁+a₂+…+a_n,n∈N^*.

(1)若S_n=n·2^n-1(n∈N^*),是否存在等差數列{a_n}對一切自然數n滿足上述等式?

(2)若數列{a_n}是公比為q(q≠±1),首項為1的等比數列,b₁+b₂+…+b_n=(n∈N^*).求證:{b_n}是等比數列.

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一、1.解析：，

答案：A

2.解析：

答案：C

二、3.解析：

答案：

4.解析：原式=

∴a?b=8

答案：8

三、5.解：(1)由{a_n+1－a_n}是公比為的等比數列，且a₁=,a₂=,

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)()^n-1=(－×)()^n-1=,

∴a_n+1=a_n+                                               ①

又由數列{lg(a_n+1－a_n)}是公差為－1的等差數列，且首項lg(a₂－a₁)

=lg(－×)=－2,

∴其通項lg(a_n+1－a_n)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),

∴a_n+1－a_n=10^－(n+1),即a_n+1=a_n+10^－(n+1)                                                                                                 ②

①②聯立解得a_n=［()ⁿ⁺¹－()ⁿ⁺¹］

(2)S_n=

6.解：由于=1，可知，f(2a)=0                                                                      ①

同理f(4a)=0                                                                                                            ②

由①②可知f(x)必含有(x－2a)與(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多項式，故可設f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),這里A、C均為待定的常數，

,即4a²A－2aCA=－1                                                         ③

同理，由于=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a²A－2aCA=1                        ④

由③④得C=3a,A=,因而f(x)=  (x－2a)(x－4a)(x－3a),

由數列{a_n}、{b_n}都是由正數組成的等比數列，知p＞0,q＞0

當p＜1時,q＜1,

8.解：(1)a_n=(n－1)d,b_n=2=2^(n－1)d?

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^(n－1)d?

由d≠0,2^d≠1,∴S_n=

∴T_n=

(2)當d＞0時，2^d＞1