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難點磁場

證明：設線段的方程為y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1.

∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0

f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0

∴線段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x軸上方，這就是說，當|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1時，恒有abc+2＞a+b+c.

殲滅難點訓練

一、1.解析：將問題轉化為比較A(－1，－1）與B(10²⁰⁰¹，10²⁰⁰⁰）及C(10²⁰⁰²，10²⁰⁰¹）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y=x，點A在直線的下方，∴k_AB＞k_AC,即M＞N.

答案：A

2.解析：設三角形的另外兩邊長為x,y,則

點(x,y）應在如右圖所示區域內

當x=1時，y=11；當x=2時，y=10,11；

當x=3時，y=9,10,11；當x=4時，y=8,9,10,11;

當x=5時，y=7,8,9,10,11.

以上共有15個，x,y對調又有15個，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個.

答案：C

二、3.解析：找A關于l的對稱點A′，A′B與直線l的交點即為所求的P點.

答案：P(5，6）

4.解析：光線l所在的直線與圓x²+y²－4x－4y+7=0關于x軸對稱的圓相切.

答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0

5.解析：f(θ)=表示兩點(cosθ,sinθ)與(2,1)連線的斜率.

答案：  0

6.解析：原不等式變為(x²－1)m+(1－2x)＜0,構造線段f(m)=(x²－1)m+1－2x,－2≤m≤2,則f(－2)＜0,且f(2)＜0.

答案：

三、7.(1)證明：設A、B的橫坐標分別為x₁、x₂，由題設知x₁＞1,x₂＞1,?

點A(x₁,log₈x₁),B(x₂,log₈x₂).

因為A、B在過點O的直線上，所以,又點C、D的坐標分別為(x₁,log₂x₁）、(x₂,log₂x₂).

由于log₂x₁=3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,則

由此得k_OC=k_OD,即O、C、D在同一直線上.

(2)解：由BC平行于x軸，有log₂x₁=log₈x₂,又log₂x₁=3log₈x₁

∴x₂=x₁³

將其代入,得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁＞1知log₈x₁≠0,故x₁³=3x₁x₂=,于是A(，log₈).

9.(1)證明：由條件，得a₁=S₁=a,當n≥2時，

有a_n=S_n－S_n－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.

因此，當n≥2時，有a_n－a_n－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.

所以{a_n}是以a為首項，2b為公差的等差數列.

(2)證明：∵b≠0,對于n≥2,有

∴所有的點P_n(a_n,－1)(n=1,2,…)都落在通過P₁(a,a－1)且以為斜率的直線上.此直線方程為y－(a－1)=  (x－a),即x－2y+a－2=0.

(3)解：當a=1,b=時，P_n的坐標為(n,),使P₁(1,0)、P₂(2, )、P₃(3,1)都落在圓C外的條件是

由不等式①,得r≠1

由不等式②，得r＜－或r＞+

由不等式③，得r＜4－或r＞4+

再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+

故使P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).