已知橢圓（a＞b＞0）滿足，且橢圓C₁過點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓C₁的長軸，動直線l₂垂直于l₁且與l₁交于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）設(shè)曲線C₂與x軸交于點Q，C₂上有與Q不重合的不同兩點R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且滿足，求點S的橫坐標(biāo)x₂的取值范圍．

（本題滿分12分）

已知函數(shù)

（I）若在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；

（II）若，若函數(shù)在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍；

（III）設(shè)函數(shù)的圖象C₁與函數(shù)的圖象C₂交于P，Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。