Question

已知橢圓（a＞b＞0）滿足，且橢圓C₁過點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓C₁的長軸，動直線l₂垂直于l₁且與l₁交于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）設曲線C₂與x軸交于點Q，C₂上有與Q不重合的不同兩點R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且滿足，求點S的橫坐標x₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設，（k＞0），所以橢圓C₁的方程為，由橢圓C₁過點，解得k=1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），所以直線l₁的方程為x=-1，由|MP|=|MF₂|，知點M的軌跡C₂是以F₂為焦點，直線l₁為準線的拋物線，由此能求出軌跡C₂的方程．
（3）Q（0，0），設，，所以，，因為，所以，化簡得，由此能求出點S的橫坐標的取值范圍是[16，+∞）．
解答：解：（1）由已知，可設，（k＞0），
所以橢圓C₁的方程為，…（2分）
因為橢圓C₁過點，所以有，解得k=1，…（3分）
所以橢圓C₁的方程為．…（4分）
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），所以直線l₁的方程為x=-1，…（5分）
由題意，|MP|=|MF₂|，所以點M的軌跡C₂是以F₂為焦點，直線l₁為準線的拋物線，
所以軌跡C₂的方程是y²=4x． …（10分）
（3）Q（0，0），設，，
所以，，
因為，所以，…（12分）
因為y₁≠y₂，y₁≠0，化簡得，…（15分）
所以，當且僅當，y₁=±4時等號成立．…（16分）
所以，點S的橫坐標的取值范圍是[16，+∞）．…（18分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．