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橢圓C₁的中心在原點，過點（0，

3

），且右焦點F₂與圓C₂：（x-1）²+y²=

1

4

的圓心重合．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過點F₂的直線l交橢圓于M、N兩點，問是否存在這樣的直線l，使得以MN為直徑的圓過橢圓的左焦點F₁？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，橢圓右準線與x軸交于E（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直線x+2y-10=0上有且僅有一點P使

PO

•

PM

=0．求以OM為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設橢圓左、右焦點分別為F₁，F₂，過E點作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A，B兩個不同的點（B在E，A之間）若有

F1A

=λ

F2B

，求此時直線l的方程．

橢圓的中心為原點O，離心率e=

1

2

，過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點，且橢圓經過點點A（2，0）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積．
（Ⅲ）若以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，P為橢圓C上任意一點．已知

PF1

•

PF2

的最大值為3，最小值為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點（M、N不是左右頂點），且以MN為直徑的圓過點A．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．