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如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，

過拋物線的對稱軸上的定點，作直線與拋物線相交于兩點．

（I）試證明兩點的縱坐標之積為定值；

（II）若點是定直線上的任一點，試探索三條直線的斜率之間的關系，并給出證明.

【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．

（1）中證明：設下證之：設直線AB的方程為: x=ty+m與y²=2px聯立得消去x得y²=2pty-2pm=0，由韋達定理得 

 (2)中：因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數列，下證之

設點N（-m,n），則直線AN的斜率K_AN=，直線BN的斜率K_BN=

K_AN+K_BN=+

本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．

（本小題滿分12分）

已知函數f（x）是定義在[-e,0）∪（0,e]上的奇函數，當x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然對數的底數，a∈R）

   （1）求f（x）的解析式；

   （2）設g（x）=,x∈[-e,0）,求證：當a=-1時，f（x）>g（x）+;

   （3）是否存在實數a，使得當x∈[-e,0）時f（x）的最小值是3 如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

設數列的各項均為正數.若對任意的，存在，使得成立，則稱數列為“J_k型”數列．

（1）若數列是“J₂型”數列，且，，求；

（2）若數列既是“J₃型”數列，又是“J₄型”數列，證明：數列是等比數列.

【解析】1）中由題意，得，，，，…成等比數列，且公比，

所以．

（2）中證明：由{}是“j₄型”數列，得，…成等比數列，設公比為t. 由{}是“j₃型”數列，得

，…成等比數列，設公比為；

，…成等比數列，設公比為；

…成等比數列，設公比為；