Question

（2013•上海）已知真命題：“函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）-b 是奇函數”．
（1）將函數g（x）=x³-3x²的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數h（x）=log2

2x

4-x

 圖象對稱中心的坐標；
（3）已知命題：“函數 y=f（x）的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數a和b，使得函數y=f（x+a）-b 是偶函數”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）先寫出平移后圖象對應的函數解析式為y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，由于函數y=x³-3x是奇函數，利用題設真命題知，函數g（x）圖象對稱中心．
（2）設h（x）=log2

2x

4-x

 的對稱中心為P（a，b），由題設知函數h（x+a）-b是奇函數，從而求出a，b的值，即可得出圖象對稱中心的坐標．
（3）此命題是假命題．舉反例說明：函數f（x）=x的圖象關于直線y=-x成軸對稱圖象，但是對任意實數a和b，函數y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數．修改后的真命題：“函數y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數y=f（x+a）是偶函數”．

解答：解：（1）平移后圖象對應的函數解析式為y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，
由于函數y=x³-3x是奇函數，由題設真命題知，函數g（x）圖象對稱中心的坐標是（1，-2）．
（2）設h（x）=log2

2x

4-x

 的對稱中心為P（a，b），
由題設知函數h（x+a）-b是奇函數．
設f（x）=h（x+a）-b，則f（x）=log2

2(x+a)

4-(x+a)

-b，
即f（x）=log2

2x+2a

4-x-a

-b．
由不等式

2x+2a

4-x-a

＞0的解集關于原點對稱，則-a+（4-a）=0，得a=2．
此時f（x）=log2

2(x+2)

4-(x+2)

-b，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函數h（x）=log2

2x

4-x

 圖象對稱中心的坐標是（2，1）．
（3）此命題是假命題．
舉反例說明：函數f（x）=x的圖象關于直線y=-x成軸對稱圖象，
但是對任意實數a和b，函數y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數．
修改后的真命題：“函數y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數y=f（x+a）是偶函數”．

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用，考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數的對稱性等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．