題目列表(包括答案和解析)
已知函數
，
．
（Ⅰ）討論函數
的單調區間；
（Ⅱ）設函數在區間
內是減函數，求
的取值范圍．
已知函數
，
．
（1）設
是函數
圖象的一條對稱軸，求
的值；
（2）求函數
的單調遞增區間．
已知函數
，
．
⑴用函數單調性的定義證明：函數
在[
]上單調遞增；
⑵的定義域和值域都是[]，求常數
的取值范圍．
已知函數
，
．
（I）設
是函數
圖象的一條對稱軸，求
的值．
（II）求函數
的單調遞增區間．
已知函數
，
．（1）求函數
在
內的單調遞增區間；
（2）若函數在
處取到最大值，求
的值；
（3）若
（），求證：方程
在
內沒有實數解．（參考數據：
，
）
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
A
D
C
D
B
C
A
D
二、填空題（每小題4分，共16分）
13、120； 14、20； 15、
；16、2．
三、解答題
17、解：（Ⅰ）由正弦定理得
，
即
……2分
得
，因為
，所以
，得
……3分，因為
，
所以
，又
為三角形的內角，所以
……2分
（Ⅱ）
，由及
得
……2分
，
又
，所以當
時，
取最大值
……3分
18、解：（Ⅰ）設公差為
，由
，得
，
，因為數列{
}的各項均為正數，
所以得
……3分
又
，所以
……2分
由
，得
……1分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
……2分
于是
……4分
19、（Ⅰ）如圖，連結
，因為
、
分別是棱
、
的中點，
所以
……2分
因為
平面
，，不在平面
內，所以
平面 ……3分
（Ⅱ）解：因為
平面，
所以
，因為是直角梯形，
且
，所以
，又
，所以
平面
，即
是三棱錐
的高 ……4分
因為是棱的中點，所以
，
于是三棱錐的體積
……3分
20、解：從5名同學
、、
、
、中選出3名同學的基本事件空間為：
，共含有10個基本事件 ……3分
（Ⅰ）設事件
為“同學被選取”，則事件包含6個基本事件，
事件發生的概率為
……3分
（Ⅱ）設事件
為“同學和同學都被選取”，則事件包含3個基本事件，
事件發生的概率為
……3分
（Ⅲ）設事件
為“同學和同學中至少有一個被選取”，則事件包含9個基本事件，事件發生的概率為
……3分
21、解：（Ⅰ）由
得
……2分
由點（
，0），（0，
）知直線
的方程為
，
于是可得直線的方程為
……2分
因此
，得
，
，
，
所以橢圓的方程為
……2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐標依次為（2，0）、
，
因為直線經過點
，所以
，得
，
即得直線的方程為
……2分
因為
，所以
，即
……1分
設
的坐標為
，則
得
，即直線
的斜率為4 ……2分
又點的坐標為，因此直線的方程為
……1分
22、解：（Ⅰ）
，因為
在
時取得極值，
所以是方程
的根，即
……2分
得
，又因為
，
所以
的取值范圍是
……2分
（Ⅱ）當
時，
，
，
因為，當
時，
，在
內單調遞減……2分
當
時，
，令
解得
或
，令，解得
，
于是當時，在
內單調遞增，
在
內單調遞減 ……2分
（Ⅲ）因為函數在
時有極值
，所以有
，
消去得
，解之得
或
，又，所以取，
此時
……2分
因此
，
，
可得當
時取極大值
，
當時取極小值
……2分
如圖，方程
有三個不相等的實數根，等價于直線
與曲線
有三個不同的交點，由圖象得
……2分
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