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已知

（1）求函數在上的最小值

（2）對一切的恒成立，求實數a的取值范圍

（3）證明對一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

第二問中，，則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立， 

第三問中問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

解：（1）當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

                 …………4分

（2），則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

 

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

在等差數列中，，，其中是數列的前項之和，曲線的方程是，直線的方程是．

求數列的通項公式；

當直線與曲線相交于不同的兩點，時，令，

求的最小值；

對于直線和直線外的一點P，用“上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的，若曲線與直線不相交，試以類似的方式給出一條曲線與直線間“距離”的定義，并依照給出的定義，在中自行選定一個橢圓，求出該橢圓與直線的“距離”．

在等差數列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，其中S_n是數列{a_n}的前n項之和，曲線C_n的方程是+=1，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；   
（2）判斷C_n與l的位置關系；
（3）當直線l與曲線C_n相交于不同的兩點A_n，B_n時，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．
（4）對于直線l和直線外的一點P，用“l上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線l的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的．若曲線C_n與直線l不相交，試以類似的方式給出一條曲線C_n與直線l間“距離”的定義，并依照給出的定義，在C_n中自行選定一個橢圓，求出該橢圓與直線l的“距離”．