Question

在等差數列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，其中S_n是數列{a_n}的前n項之和，曲線C_n的方程是+=1，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；   
（2）判斷C_n與l的位置關系；
（3）當直線l與曲線C_n相交于不同的兩點A_n，B_n時，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．
（4）對于直線l和直線外的一點P，用“l上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線l的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的．若曲線C_n與直線l不相交，試以類似的方式給出一條曲線C_n與直線l間“距離”的定義，并依照給出的定義，在C_n中自行選定一個橢圓，求出該橢圓與直線l的“距離”．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差數列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，可求首項與公差，從而可求求數列{a_n}的通項公式；
（2）將曲線C_n與l的方程聯立，利用判別式可求解；
（3）利用（2）的結論，表達出M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，再求M_n的最小值；
（4）根據條件可類比得：若曲線C_n與直線l不相交，曲線C_n與直線l間“距離”是：曲線C_n上的點到直線l距離的最小值．
由（2）知n=5時，曲線C₅為圓，n=3，4時，曲線C_n為橢圓．以橢圓為例，利用參數法可解．
解答：解：（1）∵S₅-a₅=-14，∴S₄=-14，
又∵a₄S₄=-14，∴a₄=1，
∵S₄=-14=，
∴a₁=-8，，
∴a_n=3n-11．
（2），
由題意，知△=16（|a_n|²-5|a_n|）＞0，即|a_n|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即或n＜2，
即n≥6或n=1時，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點．
（3）由（2）當n≥6或n=1時，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點．M_n=（|a_n|+4）•|A_nB_n|==，
∴n=6時，M_n的最小值為．
（4）若曲線C_n與直線l不相交，曲線C_n與直線l間“距離”是：曲線C_n上的點到直線l距離的最小值．
曲線C_n與直線l不相交時，△=16（|a_n|²-5|a_n|）＜0，即0＜|a_n|＜5，即|3n-11|＜5，
∴n=3，4，5，
∵n=5時，曲線C₅為圓，
∴n=3，4時，曲線C_n為橢圓．
選n=3，橢圓為，設橢圓上任一點M，它到直線l的距離：，
∴橢圓C₃到直線l的距離為．  （橢圓C₄到直線l的距離為）
點評：本題以數列為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系，關鍵是利用直線與圓錐曲線聯立，借助于判別式進行解決．