題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）已知函數
，
的最大值是1，其圖像經過點
．
（1）求
的解析式；
（2）已知
，且
，
，求
的值．
（本小題滿分12分）
已知
，不等式
的解集是
，
(Ⅰ) 求
的解析式；
(Ⅱ) 若對于任意
，不等式
恒成立，求t的取值范圍．
（本小題滿分12分）已知拋物線
：
的準線經過雙曲線
：
的左焦點，若拋物線與雙曲線的一個交點是
．
（1）求拋物線的方程；
（2）求雙曲線的方程．
（本小題滿分12分）已知關于x的二次函數f(x)＝ax2－2bx＋1.
(1)已知集合P＝{－2，1，2 }，Q＝{－1，1，2}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函數的概率；
(2)在區域 
內隨機任取一點(a，b)．求函數y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函數的概率．
（本小題滿分12分）
已知橢圓M的中心為坐標原點，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，M的離心率
，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線
，交M于A，B兩點.
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且
，求實數t的取值范圍.
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
B
D
C
B
A
Ｂ
Ｄ
Ａ
二、填空題
13．
14. 7500 15. （-1，1）
16. 
１７．45o １８．
三、解答題
１９解：（Ⅰ）
┅┅┅┅┅┅┅４分
因為
，所以
，所以
，
即
的取值范圍為
┅┅┅┅┅┅┅６分
（Ⅱ）因為
，所以
┅┅┅┅┅┅┅８分
所以
的最小值為
，當
即
為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分
２０（Ⅰ）證明（方法一）取
中點
，連接
，因為
分別為
中點，所以
，┅┅┅┅┅┅┅３分
所以
，所以四邊形
為平行四邊形，所以
，又因為
，所以
面
；┅┅┅┅┅┅┅６分
（方法二）取
中點
，連接
，
因為
分別為
中點，所以
又因為
分別為
中點，所以
┅┅┅┅┅┅┅３分
且
，
所以面
面
，
又
面
，所以面┅┅┅┅┅┅６分
（方法三）取
中點
，連接
，
由題可得
，又因為面
面
，
所以
面，又因為菱形中
，所以
.
可以建立如圖所示的空間直角坐標系
┅┅┅┅┅┅┅7分
不妨設
，
可得
，
，
，
，
，所以
所以
，┅┅┅┅┅┅┅9分
設面的一個法向量為
，則
，不妨取
，則
，所以
，又因為
面，所以面.
┅┅┅┅┅┅┅12分
（Ⅱ）（方法一）
過
點作的垂線
交于
，連接
.
因為
，
所以
，所以
面
，
所以
為二面角
的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分
因為面面，所以
點在面上的射影落在上，所以
，
所以
，不妨設，所以
，同理可得
.┅┅┅┅┅┅┅10分
所以
，所以二面角的大小為
┅┅┅┅┅┅┅12分
（方法二）由（Ⅰ）方法三可得
，設面
的一個法向量為
，則
，不妨取
，則
.
┅┅┅┅┅┅┅８分
又
，設面
的一個法向量為
，則
，不妨取
，則
.┅┅┅┅┅┅┅１０分
所以
，因為二面角為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分
２１解：
（Ⅰ）從盒中一次性取出三個球，取到白球個數的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分
所以期望為
，所以
，即盒中有 3個紅球，2 個白球．┅┅┅┅┅┅┅３分
（Ⅱ）由題可得
的取值為0，1，2，3.
,
=
,
,
所以的分布列為
0
1
2
3
P
┅┅┅┅┅┅┅１１分
E =
答：紅球的個數為2，的數學期望為2 ┅┅┅┅┅┅┅１2分
２２解：（Ⅰ）由
可得
，┅┅┅┅┅┅┅2分
即
，所以
，┅┅┅┅┅┅┅４分
又
，所以
，
所以
是等差數列，首項為
，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，即
┅┅┅┅┅┅┅７分
令
①
則
②┅┅┅┅┅┅９分
①-②可得
所以
，所以
┅┅１2分
２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以
及點
為頂點的三角形，
∵
，∴
為直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圓C以原點O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為
．
∵2b=4，∴b=2．又
，可得
．
∴所求橢圓C1的方程是
．
┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），
，OA的斜率為
，則PA的斜率為
，則PA的方程為：
化簡為：
，
同理PB的方程為
┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同時過P點，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分
（或者求出以OP為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）
從而得到
、
所以 
┅┅┅┅┅┅┅8分
當且僅當
.
┅┅┅┅┅┅┅12分
（或者利用橢圓的參數方程
、函數求最值等方法求
的最大值）
２４解：（Ⅰ）
┅┅┅┅┅┅┅2分
①當
，即
，在
上有
，所以
在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分
②當
，即
，當
時，在上有，所以在單調遞增；當
時，在
上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分
③當
，即
當
時，函數
對稱軸在y軸左側，且
，所以在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分
當
時，函數對稱軸在
右側，且，
兩個根分別為
，所以在
上有，即在單調遞增；在
上有
，即在單調遞減.
綜上：
時，在單調遞增；時，在單調遞增，在單調遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時，有極大值
，極小值
，所以
，又因為
，
┅┅┅１2分
所以
=
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