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一袋子中有大小相同的2個紅球和3個黑球，從袋子里隨機取球取到每個球的可能性是相同的，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分.
（Ⅰ）若從袋子里一次隨機取出3個球，求得4分的概率；
（Ⅱ）若從袋子里每次摸出一個球，看清顏色后放回，連續摸2次，求得分的概率分布列及數學期望.
一、選擇題（每小題5分，共12小題，滿分60分）
2,4,6
二、填空題（每小題4分，共4小題，滿分16分）
13．800 14． 15．625 16．②④
三、解答題（本大題共6小題，滿分74分）
17．解
（Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角
……………………6分
（Ⅱ）
……………………9分
有最小值。
的最小值是……………………12分
18．解：
（Ⅰ）設“一次取出3個球得4分”的事件記為A，它表示取出的球中有1個紅球和2個黑球的情況
則……………………4分
（Ⅱ）由題意，的可能取值為3、4、5、6。因為是有放回地取球，所以每次取到紅球的概率為……………………6分
的分布列為
3
4
5
6
P
……………………10分
19．解：
連接BD交AC于O，則BD⊥AC，
連接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1?Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）
……………………2分
（Ⅰ）由于
則
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
設⊥平面AA1D
得到……………………6分
所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）假設在直線CC1上存在點P，使BP//平面DA1C1
設
得……………………9分
則設
得到……………………10分
又因為平面DA1C1
則?
即點P在C1C的延長線上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于點O，由于平面AA1C1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性質定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面為菱形，所以AC⊥BD
（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
∴AO=AA1?cos60°=1
所以O是AC的中點，由于底面ABCD為菱形，所以
O也是BD中點
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
過O作OE⊥AA1于E點，連接OE，則AA1⊥DE
則∠DEO為二面角D―AA1―C的平面角
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=
DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）存在這樣的點P
連接B1C，因為A1B1ABDC
∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。
∴A1D//B1C
在C1C的延長線上取點P，使C1C=CP，連接BP……………………10分
因B1BCC1，……………………12分
∴BB1CP
∴四邊形BB1CP為平行四邊形
則BP//B1C
∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1
20．解：
（Ⅰ）
令……………………2分
當是增函數
當是減函數……………………4分
∴……………………6分
（Ⅲ）（i）當時，，由（Ⅰ）知上是增函數，在上是減函數
……………………7分
又當時，所以的圖象在上有公共點，等價于…………8分
解得…………………9分
（ii）當時，上是增函數，
∴
所以原問題等價于
又
∴無解………………11分
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的概率分布列及數學期望.
15．625 16．②④
……………………4分
的夾角
……………………6分
……………………9分
有最小值。
的最小值是
……………………12分
……………………4分
的可能取值為3、4、5、6。因為是有放回地取球，所以每次取到紅球的概率為
……………………6分
的分布列為
，0，0），C（0，1，0），D（－
⊥平面AA1D
……………………6分
……………………8分
……………………9分
設
……………………10分
平面DA
?
AB
……………………2分
是增函數
是減函數……………………4分
……………………6分
時，
，由（Ⅰ）知
上是增函數，在
上是減函數
……………………7分
時，
所以
的圖象在
上有公共點，等價于
…………8分
…………………9分
時，
上是增函數，
