如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=

2

．
（I）求證：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

查看答案和解析>>

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，點M為棱SA的中點．
（1）求證：DM⊥平面SAB；
（2）求異面直線DM與SC所成角的大小．

查看答案和解析>>

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設Q是棱SA上的一點，若

AQ

=

3

4

AS

，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，點M為棱SA的中點．
（1）求證：DM⊥平面SAB；
（2）求異面直線DM與SC所成角的大小．

查看答案和解析>>

說明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解答與本解答不同，可根據試題的主要內容比照評分標準制定相應的評分細則.

       二、對計算題，當考生的解答 某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

       三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

       四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題主要考查基礎知識和基本運算．

1、A             2、A             3、C              4、C              5、A             6、C

7、B              8、C              9、A             10、D            11、B            12、B

二、填空題：本大題共4個小題；每小題4分，共16分.本題主要考查基礎知識和基本運算．

13、2                   14、0                   15、2                       16、② ④

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答.

17．本小題主要考查三角函數的符號，誘導公式，兩角和差公式，二倍角公式，三角函數的圖象及單調性等基本知識以及推理和運算能力．滿分12分

解：（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0

從而sin+cos＞0  ………………………………………………………… 3分

 ∴ =sin+cos===  …………6分

（2）∵∴=-sinx+cosx=sin(x+)  ………………………… 8分

∴時，的單調遞增區間為[，]，………………………………10分

單調遞減區間為[，2]．………………………………………… 12分

18．本小題主要考查等差、比數列的概念，應用通項公式及求和公式進行計算的能力．

滿分12分

解：（1）   ∴，

        所以， 數列是以為首項，為公差的等差數列，………4分

∴

        （2）由（1）得

解法二：（1）同解法一

       （2） 由（1）得

         ∴……………8分，

         ∴，

         ∴， ……………10分

=

=，……………………………11分

            又. ………………………12分

19．本小題主要考查直線和平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離。考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．滿分12分

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，過點A做AN垂直BC，

垂足為N，易得BN=1，同時四邊形ANCD是矩形，

則CN=1，點N為BC的中點，所以點N與點M重合,．

…………………………………………………………2分

連結AM,

因為平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD。………4分

（2）過點A做AG垂直SM，G為垂足，

易證平面SAM,

則，在RT中， 。………7分

又AD∥平面SBC,所以點D到平面SBC的距離為點A到平面SBC的距離AG,

點D到平面SBC的距離為………8分

（3）取AB中點E，因為是等邊三角形，所以,又,得，過點E作EF垂直SB， F為垂足，連結CF，則，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小為．………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根據（1），如圖所示，分別以AM,AD,AC所在射線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

設平面SBC的法向量，則,

即 ，

解得，取．………6分

又=，則點D到平面SBC的距離

．………8分

（3）設平面ASB的法向量，則,

即，

解得，取．………10分

∴，則二面角A-SB-C的大小為．………12分

20．本小題主要考查排列組合與概率的基礎知識，考查推理、運算能力與分類討論思想，以及運用數學知識解決實際問題的能力. 滿分12分

解：（1）因為擲出1點的概率為，

所以甲盒中有3個球的概率………………………4分

     （2）甲、乙、丙3個盒中的球數依次成等差數列有以下三種情況：

①甲、乙、丙3個盒中的球數分別為0、1、2，

此時的概率  ……………………………6分

②甲、乙、丙3個盒中的球數分別為1、1、1，

此時的概率  ……………………………8分

③甲、乙、丙3個盒中的球數分別為2、1、0，

此時的概率 ……………………………10分

所以，甲、乙、丙3個盒中的球數依次成等差數列的概率…12分

21．本小題主要考查函數的單調性、最值等基本知識；考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法；考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力以及運算能力，滿分12分．

解（Ⅰ）

上單調遞增，在[－2，2]上單調遞減，

，……2分

，

…………………………4分

又 

……………………………………………………6分

   （Ⅱ）已知條件等價于在……………………8分

上為減函數，

且……………………………………10分

上為減函數，

又………………………………………………12分

22．本小題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，以及應用這些知識研究曲線幾何特征

基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．

解:（１）當時  ，，

消去得:  ， ………2分

此時ㄓ>0，

設點坐標為 , 點坐標為 ，

則有=  ，  3

=   ，  4

，∴ ，代入3、4得

消去得

解得，

 則所求橢圓C的方程．……………………6分

 (２) 當2時，橢圓C的方程，………………７分

設點坐標為 , 點坐標為，

直線的方程為:，

與的方程: 聯立得: M點的縱坐標，

同理可得: ，………………９分

則=   

      …10分

     ，

此時ㄓ>0，由 =   ，=   ，

=   ，=   ，……………… 12分

則，

 ……………………13分

（當時取等號），

∴的最小值為6. ……………………14分