Question

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=．
（I）求證：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

Answer 1

（I）證明：以A點為原點，AB為x軸，AD為y軸，AZ為z軸的空間直角坐標系，
如圖所示．則依題意可知相關各點的坐標分別是：A（0，0，0），B（，0，0），
C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴（2分）
∴（4分）

∴
∴MN⊥平面ABN．（7分）
（II）解：設平面NBC的法向量
且又易知
∴
令a=1，則（11分）
顯然，就是平面ABN的法向量．
∴
由圖形知，二面角A-BN-C是鈍角二面角（12分）
∴二面角A-BN-C的余弦值是-．（14分）
分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出向量，計算
即可證明MN⊥平面ABN；
（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的數量積求得二面角A-BN-C的余弦值．
點評：本題考查向量法證明直線與平面的垂直，二面角的求法，考查學生計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．