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如圖，在等邊△ABC中，點D為AC上一點，連結AB，BD，BC分別相交于點E，P，F(xiàn)，且∠BPF=60°
（1）寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
（2）探究：當BD什么條件時（其它條件不變），PF=

1

2

PE？請寫出探究結果，并說明理由．（說明：結論中不得含有未標識的字母）

先填寫完成第（1）小題中的空缺部分（數(shù)學表達式或理由），再按要求解答第（2）小題．
如圖：AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別是E、F，DF=BE．
（1）求證：∠D=∠B；
（2）請你連結AB、CD，探究AB與CD有何位置關系？并證明你的結論．
證明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠=90°，
∵DF=BE，
∴DF-=BE-，
即DE=BF．
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
方程組：
∴Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠D=∠B．
（2）

我們知道，利用三角形全等可以證明兩條線段相等．但是我們會碰到這樣的“和差”問題：“如圖①，AD為△ABC的高，∠ABC=2∠C，證明：CD=AB+BD”．我們可以用“截長、補短”的方法將這類問題轉化為證明兩條線段相等的問題：在CD上截取DE=BD，連結AE．
（1）請補寫完這個證明：
（2）運用上述方法證明：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，證明：BD=AC-AB．

多彩數(shù)學，所有三角形都是等腰三角形
下面的推理過程，請你指出其錯誤之處．如圖：△ABC中，∠BAC的平分線和BC邊的垂直平分線相交于D，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求證：AB=AC．
證明：連結BD、CD．
∵DM⊥AB，∴∠DMA=90°．∵DN⊥AC，∴∠AND=90°．∴∠AMD=∠AND=90°．又AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．又∵AD=AD，∵△ADM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，DM=DN．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△BDM與Rt△CDN中，

BD=CD DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN．又∵AM=AN，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．你認為對嗎？
分三種情況：
（1）AB=AC時成立；
（2）AB＞AC時，N在AC的延長線上；
（3）AB＜AC時，M在AB的延長線上．