Question

多彩數學，所有三角形都是等腰三角形
下面的推理過程，請你指出其錯誤之處．如圖：△ABC中，∠BAC的平分線和BC邊的垂直平分線相交于D，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求證：AB=AC．
證明：連結BD、CD．
∵DM⊥AB，∴∠DMA=90°．∵DN⊥AC，∴∠AND=90°．∴∠AMD=∠AND=90°．又AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．又∵AD=AD，∵△ADM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，DM=DN．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△BDM與Rt△CDN中，

BD=CD DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN．又∵AM=AN，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．你認為對嗎？
分三種情況：
（1）AB=AC時成立；
（2）AB＞AC時，N在AC的延長線上；
（3）AB＜AC時，M在AB的延長線上．

Answer 1

分析：（1）當AB=AC時，解答正確；
（2）AB＞AC時，根據題意畫出相應的圖形，三條線段AB、AC、BE的等量關系為AB=AC+2BM，理由為：由AD為角平分線，DM垂直于AB，DN垂直于AC，利用角平分線定理得到DM=DN，再由AD為公共邊，利用HL得到直角三角形ADM與直角三角形ADN全等，由全等三角形的對應邊相等得到M=AN，再由DE為線段BC的垂直平分線，利用線段垂直平分線定理得到DB=DC，利用HL得出直角三角形DBM與直角三角形DNC全等，由全等三角形的對應邊相等得到BM=CN，等量代換可得證．
（3）AB＜AC時，根據題意畫出相應的圖形，三條線段AB、AC、BE的等量關系為AC=AB+2BM，理由為：由AD為角平分線，DM垂直于AB，DN垂直于AC，利用角平分線定理得到DM=DN，再由AD為公共邊，利用HL得到直角三角形ADM與直角三角形ADN全等，由全等三角形的對應邊相等得到M=AN，再由DE為線段BC的垂直平分線，利用線段垂直平分線定理得到DB=DC，利用HL得出直角三角形DBM與直角三角形DNC全等，由全等三角形的對應邊相等得到BM=CN，等量代換可得證．

解答：解：（1）AB=AC時，原證明成立．
（2）AB＞AC時
如圖2所示：

三條線段AB、AC、BE的等量關系為AB=AC+2BM，理由如下：
∵AD為∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，

DA=DA DM=DN

，
∴Rt△DMB≌Rt△DMC（HL），
∴AM=AN，
又OE為BC的垂直平分線，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
則AB=AM+BM=AN+BM=AC+CN+BM=AC+2BM；
（3）AC=AB+2BM
∵AD為∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，

DA=DA DM=DN

，
∴Rt△DMB≌Rt△DMC（HL），
∴AM=AN，
又OE為BC的垂直平分線，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
則AC=AN+CN=AM+CN=AB+CN+BM=AC+2BM；

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質的運用，角平分線定理的運用，以及線段垂直平分線定理的運用，全等三角形的判定方法有：SSS；ASA；AAS；SAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）解答時證明三角形全等是關鍵．