組合數公式:,, 【查看更多】

對于數列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項的符號，得到的新數列{a_n}稱為數列{A_n}的一個生成數列．如僅改變數列1，2，3，4，5的第二、三項的符號可以得到一個生成數列1，-2，-3，4，5．已知數列{a_n}為數列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）寫出S₃的所有可能值；
（2）若生成數列{a_n}滿足：S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，求{a_n}的通項公式；
（3）證明：對于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

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對于數列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項的符號，得到的新數列{a_n}稱為數列{A_n}的一個生成數列．如僅改變數列1，2，3，4，5的第二、三項的符號可以得到一個生成數列1，-2，-3，4，5．已知數列{a_n}為數列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）寫出S₃的所有可能值；
（2）若生成數列{a_n}的通項公式為an=

1

2n

，n=3k+1

-

1

2n

，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用數學歸納法證明：對于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

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對于數列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項的符號，得到的新數列{a_n}稱為數列{A_n}的一個生成數列．如僅改變數列1，2，3，4，5的第二、三項的符號可以得到一個生成數列1，-2，-3，4，5．已知數列{a_n}為數列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）寫出S₃的所有可能值；
（2）若生成數列{a_n}的通項公式為an=

1

2n

，n=3k+1

-

1

2n

，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用數學歸納法證明：對于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

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已知數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^*，求數列{b_n}的通項公式；
（II）若A∩B=Φ，且數列{c_n}的前5項成等比數列，c₁=1，c₉=8．
（i）求滿足

cn+1

cn

＞

5

4

的正整數n的個數；
（ii）證明：存在無窮多組正整數對（m，n）使得不等式0＜|cn+1+cm-cn-cm+1|＜

1

100

成立．

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已知數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^，求數列{b_n}的通項公式；
（II）若A∩B=Φ，且數列{c_n}的前5項成等比數列，c₁=1，c₉=8．
（i）求滿足 $數學公式$ 的正整數n的個數；
（ii）證明：存在無窮多組正整數對（m，n）使得不等式 $數學公式$ 成立．

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