Question

已知數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^*，求數列{b_n}的通項公式；
（II）若A∩B=Φ，且數列{c_n}的前5項成等比數列，c₁=1，c₉=8．
（i）求滿足的正整數n的個數；
（ii）證明：存在無窮多組正整數對（m，n）使得不等式成立．

Answer 1

解：由題意知：
（I）∵A={1，2，…，2^n-1，…}，A∪B中的元素按從小到大的順序記為{c_n}，且c_n=n，n∈N^*；
∵若c_n=n，因為5，6，7∉A，則5，6，7∈B
∴等差數列{b_n}的公差為1，并且3是數列{b_n}中的項；因此，3只可能是數列{b_n}中的第1，2，3項，
當b₁=3時，則b_n=n+2；
當b₂=3，則b_n=n+1；
當b₃=3，則b_n=n．
（II）（i）因為A={1，2，…，2^n-1，…}，A∪B中的元素按從小到大的順序記為{c_n}，
對集合{c_n}中的元素2進行分類討論：
①當c₂=2時，由{c_n}的前5項成等比數列，得c₄=2³=8=c₉，顯然不成立；
②當c₃=2時，由{c_n}的前5項成等比數列，得b₁²=2，∴b₁=；
因此數列{c_n}的前5項分別為1，，2，2，4；
這樣 b_n=n，則數列{c_n}的前9項分別為1，，2，2，4，3，4，5，8；上述數列符合要求；
③當c_k=2（k≥4）時，有b₂-b₁＜2-1，即數列{b_n}的公差d＜1，
∴b₆=b₁+5d＜2+5=7，1，2，4＜c₉；
∴1，2，4在數列{c_n}的前8項中，由于A∩B=∅，這樣，b₁，b₂，…，b₆以及1，2，4共9項，
它們均小于8，即數列{c_n}的前9項均小于8，這與c₉=8矛盾，所以也不成立；
綜上所述，b_n=n；
其次，當n≤4時，=＞，=＜，=＞，
當n≥7時，c_n≥4，因為{b_n}是公差為的等差數列，所以 c_n+1-c_n≤，
所以==1+≤1+=，此時的n不符合要求．
所以符合要求的n一共有5個．
（ii）證明：由（i）知，數列{c_n}是A∪B中的元素按從小到大的順序排列所得：
即1，，2，2，4，3，4，5，8，…，
對于正整數對（m，n），當m≠n時，有c_m≠c_n；
∴|c_n+1+c_m-c_n-c_m+1|＞0，
由|c_n+1+c_m-c_n-c_m+1|=|（c_n+1-c_n）-（c_m+1-c_m）|≤|c_n+1-c_n|+|c_m+1-c_m|≤2|c_n+1-c_n|=2|n′-2^n-1|，
令2|n′-2^n-1|＜，則|n′-2^n-1|＜．
∴存在無窮多組正整數對（m，n）使得不等式成立．
分析：（I）根據已知數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．若c_n=n，n∈N*，對元素3、5、6、7進行分析，得出數列{b_n}是公差為1的等差數列，分類求出即可．
（II）（i）若A∩B=∅，數列{c_n}的前5項成等比數列，且c₁=1，c₉=8，對元素2進行分類討論，從而求得 ＞的正整數n的個數．
（ii）由（i）知，數列{c_n}是A∪B中的元素按從小到大的順序排列所得：即1，，2，2，4，3，4，5，8，…，然后利用絕對值不等式進行證明即可．
點評：本題考查了等差數列和等比數列的綜合運用，對元素2采用分類討論的方法求得數列{b_n}的通項公式，體現分類討論的思想；對于（II）的探討，除了分類討論以外，還采用了反證法解決問題，體現了方法的靈活性，增加了題目的難度，屬難題．