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已知函數的定義域為[0，1]且同時滿足：①對任意②③若
（I）求的值；
（II）求的最大值；
（III）設數列的前n項和為S_n，且，
求：

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一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．B    2．C   3．B   4．D   5．C   6．D   7．D   8．C   9．A  10．B   11．A   12．A

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

13．90    14．20    15．2    16．①②③

三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．（本小題共10分）

解：（I）

       故函數的周期為 …………………………………………5分

（II）

     又

     函數的值域為_{…………………10分}

18．（本小題共12分）

解法1：

   （I）3名志愿者每人任選兩天參加社區服務，共有種不同的結果，這些結果出現的可能性相等……………………1分

    設“這3名志愿者在5月1日都參加社區服務工作”為事件A

    則該事件共包括種不同的結果   ……………………3分

        ………………5分

    答：這3名志愿者在5月1日都參加社區服務工作的概率為  …………6分

   （II）3名志愿者都不在5月1日參加社區服務工作的概率為…………8分

    3名志愿者中只有1人在5月1日參加社區服務的概率為……10分

    設“這3名志愿者在5月1日至多有1人參加社區服務工作”為事件B

       ………………12分

    答：這3名志愿者在5月1日至多有1人參加社區服務工作的概率為……12分

    解法2：

   （I）每名志愿者在5月1日參加社區服務的概率均為 …………2分

    設“3名志愿者在5月1日都參加社區服務工作”為事件A   …………3分

       ………………5分

    答：這3名志愿者在5月1日都參加社區服務工作的概率為  …………6分

   （II）3名志愿者都不在5月1日參加社區服務工作的概率為：

   ………………8分

3名志愿者只有一人在5月1日參加社區服務工作的概率為：

……10分

    設“這3名志愿者在5月1日至多有1人參加社區服務工作”為事件B…………10分

       ………………11分

    答：這3名志愿者在5月1日至多有1人參加社區服務工作的概率為……12分

19．（本小題共12分）

    方法1

   （I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB//CD，∠BAD=90°，AD=DC=2

∴∠ADC=90°，且   ………………1分

取AB的中點E，連結CE.

由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，

又

則△ABC為等腰直角三角形，

所以AC⊥BC，   又因為PA⊥平面ABCD，則AC為PC在平面ABCD內的射影，BC平面ABCD，

由三垂線定理得，BC⊥PC  ……………………4分

   （II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C.

所以BC⊥平面PAC， ……………………4分

PC是PB在平面APC內的射影，所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角. ……5分

又，  ………………6分

   ………………7分

   ………………8分

   （III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PEC，

所以平面PBC⊥平面PAC，

過A點在平面PAC內作AF⊥PC于E，所以AF⊥平面PBC，

則AF的長即為點A到平面PBC的距離.  ………………9分

在直角三角形PAC中，PA=2，AC=，   ………………10分

    ………………11分

所以   ………………12分

方法2：

∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°

∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系 

∵PA=AD=DC=2，AB=4.

  ………………2分

   （I）

  ………………3分

   ………………4分

   （II）

設   ………………6分

即PB與平面PAC所成角的正弦值為   ………………8分

   （III）由

設   ………………10分

  =

∴點A到平面PBC的距離為   ………………12分

20．（本小題共12分）

解：（I）當， ………………1分

    ………………2分

當    ………………3分

   ………………5分

   （II）

21．（本小題共12分）

    解：（I）.  …………1分

       ………………6分

   （II）由（I）得：   ………………7分

    ①當由題意得

        ………………9分

    ②當時

        ……………………10分

    ③當

       ……………………11分

    綜合①②③得，   ……………………12分

    ∴實數m的取值范圍是

22．（本小題共12分）

    解：（I）動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，除去其與x軸的交點.   ……………………1分

    設雙曲線方程為

    由已知，得    ………………2分

        ……………………3分

    ∴動點P的軌跡方程為    ………………6分

    注：未除去點（2，0），扣1分

   （II）由題意，直線MP的斜率存在且不為0，直線l的方程為

    設直線MP的方程為    ……………………7分

       ………………10分

    ， ………………11分

    ∴所求T點的坐標為（4，0）.   ……………………12分