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已知函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

已知函數在處取得極值2.

⑴ 求函數的解析式；

⑵ 若函數在區間上是單調函數，求實數m的取值范圍；

【解析】第一問中利用導數

又f(x)在x=1處取得極值2，所以，

所以

第二問中，

因為，又f(x)的定義域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上單調遞增，在上單調遞減，當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增，則有，得

解：⑴ 求導，又f(x)在x=1處取得極值2，所以，即，所以…………6分

⑵ 因為，又f(x)的定義域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上單調遞增，在上單調遞減，當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增，則有，得，                …………9分

當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞減，則有 

得                                                …………12分

.綜上所述，當時，f(x)在(m,2m+1)上單調遞增，當時，f(x)在(m,2m+1)上單調遞減；則實數m的取值范圍是或

 

以下有四種說法：
（1）若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必為一真一假；
（2）若數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n+1，n∈N^*，則a_n=2n，n∈N^*；
（3）若f′（x₀）=0，則f（x）在x=x₀處取得極值；
（4）由變量x和y的數據得到其回歸直線方程l： 

y

=bx+a，則l一定經過點P(

.

x

， 

.

y

)．
以上四種說法，其中正確說法的序號為 ．

下圖展示了一個由區間(―π，π)到實數集R的映射過程：區間(―π，π)中的實數x對應軸上的點M（如圖1）：將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合（從A到B是逆時針，如圖2）：再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在x軸上，點A的坐標為(1,0)（如圖3），圖3中直線OM的斜率為k，則x的象就是k，記作k=¦(x).有下列判斷(1)¦(x)是奇函數；(2) ¦(x)是存在3個極值點的函數；(3) ¦(x)的值域是[―，]；

(4) ¦(x)是區間(―π，π)上的增函數。其中正確的是

A、(1)(2)      B、(1)(3)      C、(2)(3)      D、(1)(4)