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（本小題12分）

如圖，在三棱錐中，側面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側面是正三角形．

（I）求證：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直線是否存在一點，使直線與面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．

如圖是單位圓上的點，分別是圓與軸的兩交點，為正三角形.

（1）若點坐標為，求的值；

（2）若，四邊形的周長為，試將表示成的函數，并求出的最大值.

【解析】第一問利用設 

∵  A點坐標為∴   ，

（2）中 由條件知  AB=1，CD=2 ，

在中，由余弦定理得 

  ∴ 

∵       ∴    ，

∴  當時，即 當 時 ， y有最大值5. .

 

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=，CC₁=，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E為棱AB的中點，F為CC₁上的動點．
（Ⅰ）在線段CC₁上是否存在一點F，使得EF∥平面A₁BC₁？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC₁上是否存在一點F，使得EF⊥BB₁？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當F為CC₁的中點時，若AC≤CC₁，且EF與平面ACC₁A₁所成的角的正弦值為，求二面角C-AA₁-B的余弦值．