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設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中項．
（Ⅰ）證明數列{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式S_n-1005＞

a 2 n

2

恒成立，求這樣的正整數m共有多少個？

設數列{a_n}的各項都是正數，記S_n為數列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²．
（Ⅰ）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若bn=3n+(-1)n-1λ•2an（λ為非零常數，n∈N^*），問是否存在整數λ，使得對任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數列{a_n}的前n項和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數，n∈N^*），問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．