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設數列{an}的各項都是正數,記Sn為數列{an}的前n項和,且對任意n∈N*,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2
(Ⅰ)求證:an2=2Sn-an
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅲ)若bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零常數,n∈N*),問是否存在整數λ,使得對任意 n∈N*,都有bn+1>bn
分析:本題考查的是數列與不等式的綜合題.在解答時:
(I)首先討論n=1和n≥2時兩種情況,結合通項與前n項和之間的關系通過作差、變形化簡即可獲得問題的解答;
(II)利用(1)的結論寫出相鄰的一項對應的關系式,注意保證n≥2.用作差法可分析知數列an為等差數列,進而即可獲得數列的通項公式;
(III)首先假設存在λ使得滿足題意,然后計算化簡bn+1-bn,再結合恒成立問題進行轉化,將問題轉化為:(-1)n-1•λ<(
3
2
)
n-1
對任意的n∈N*恒成立.然后分n為奇偶數討論即可獲得λ的范圍,再結合為整數即可獲得問題的解答.
解答:解:(Ⅰ)證明:∵a13+a23+a33+…+an3=Sn2
當n=1時,a13=a12
∵a1>0,∴a1=1.
當n≥2時,a13+a23+a33+…+an3=Sn2.①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12.②
①-②得  an3=an(2a1+2a2+…+2an-1+an
∵an>0,∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+an
即an2=2Sn-an
∵a1=1適合上式,
∴an2=2Sn-an(n∈N*).(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an2=2Sn-an(n∈N*).③
當n≥2時,an-12=2Sn-1-an-1.④
③-④得an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1.
∴數列{an}是首項為1,公差為1的等差數列,可得an=n.(8分)
(Ⅲ)∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3n+(-1)n-1λ•2n
欲使bn+1-bn=[3n+1+(-1)nλ•2n+1]-[3n+(-1)n-1λ•2n]
 & & &=2
3n-3λ(-1)n-12n>0

(-1)n-1•λ<(
3
2
)n-1
成立.⑤
當n=2k-1,k=1,2,3,…時,⑤式即為λ<(
3
2
)2k-2
.⑥
依題意,⑥式對k=1,2,3…都成立,∴λ<1.
當n=2k,k=1,2,3,…時,⑤式即為λ>-(
3
2
)2k-1
.⑦
依題意,⑦式對k=1,2,3,…都成立,∴λ>-
3
2

-
3
2
<λ<1,又λ≠0

∴存在整數λ=-1,使得對任意n∈N*,都有bn+1>bn.(12分)
點評:本題考查的是數列與不等式的綜合題.在解答的過程當中充分體現了數列通項與前n項和的知識、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規律.值得同學們體會和反思.
練習冊系列答案
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設數列{an}的各項都是正數,且對任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn為數列{an}的前n項和.
(Ⅰ)求證:an2=2Sn-an
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅲ)設bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數,n∈N*)試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.

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(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若bn=(2n+1)2an,求數列{bn}的前n項和Tn

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設數列{an}的各項均為正實數,bn=log2an,若數列{bn}滿足b2=0,bn+1=bn+log2p,其中p為正常數,且p≠1.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數M,使得當n>M時,a1•a4•a7•…•a3n-2>a16恒成立?若存在,求出使結論成立的p的取值范圍和相應的M的最小值;若不存在,請說明理由;
(3)若p=2,設數列{cn}對任意的n∈N*,都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立,問數列{cn}是不是等比數列?若是,請求出其通項公式;若不是,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的各項均為正數,它的前n項和為Sn,點(an,Sn)在函數y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上,數列{bn}的通項公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
,其前n項和為Tn
(1)求an;   
(2)求證:Tn-2n<2.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•江蘇一模)設數列{an}的各項均為正數,其前n項的和為Sn,對于任意正整數m,n,Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1
恒成立.
(1)若a1=1,求a2,a3,a4及數列{an}的通項公式;
(2)若a4=a2(a1+a2+1),求證:數列{an}成等比數列.

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