Question

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n為數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零整數，n∈N^*）試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1代入a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，可得a₁的值，然后推出S_n-1²的表達式，與S_n²相減可得a_n²=2S_n-a_n，從而求證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n²=2S_n-a_n利用遞推公式，得a_n-1²的表達式，從而可得數列a_n是首項為1，公差為1的等差數列．
（Ⅲ）第一步要求出b_n+1-b_n的表達式，然后再進行分類討論，n為奇偶的情況確定λ的范圍；

解答：解：（Ⅰ）由已知得，當n=1時，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
當n≥2時，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①
a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②
由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）
∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）
顯然當n=1時，a₁=1適合上式．
故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）
（Ⅱ）由（I）得，a_n²=2S_n-a_n③
a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④
由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故數列a_n是首項為1，公差為1的等差數列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（III）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ
∴b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ•2ⁿ=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ
要使b_n-1＞b_n恒成立，只須（-1）^n-1 λ＜(

3

2

)^n-1
（1）當n為奇數時，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立，
又(

3

2

)n-1的最小值為1，∴λ＜1
（2）當為偶數時，即λ＞(

3

2

)n-1恒成立，
又-(

3

2

)n-1的最大值為-

3

2

，
∴λ＞-

3

2

，∴由（1）（2）得-

3

2

＜λ＜1，
又λ=0且為整數，∴λ=-1對所有n∈N⁺，都有b_n+1＞b_n成立．

點評：此題主要考查等比數列的性質及遞推公式的應用，難度比較大，后面第三問還需要分類討論n的奇偶性，此題綜合性較強，做題時要認真學會獨立思考．