例1．已知.求(1),(2)的值. 解:(1), (2) . 說明:利用齊次式的結構特點(如果不具備.通過構造的辦法得到).進行弦.切互化.就會使解題過程簡化. 例2．求函數的值域. 解:設.則原函數可化為 .因為.所以當時..當時.. 所以.函數的值域為. 例3．已知函數. (1)求的最小正周期.的最大值及此時x的集合, (2)證明:函數的圖像關于直線對稱. 解: (1)所以的最小正周期.因為. 所以.當.即時.最大值為, (2)證明:欲證明函數的圖像關于直線對稱.只要證明對任意.有成立. 因為. . 所以成立.從而函數的圖像關于直線對稱. 例4．已知函數y=cos2x+sinx·cosx+1 , (1)當函數y取得最大值時.求自變量x的集合, (2)該函數的圖像可由y=sinx的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到? 解:(1)y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ ++1 =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ =sin(2x+)+ 所以y取最大值時.只需2x+=+2kπ,.即 x=+kπ,. 所以當函數y取最大值時.自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z} (2)將函數y=sinx依次進行如下變換: (i)把函數y=sinx的圖像向左平移.得到函數y=sin(x+)的圖像, (ii)把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍.得到函數y=sin(2x+)的圖像, (iii)把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍.得到函數y=sin(2x+)的圖像, (iv)把得到的圖像向上平移個單位長度.得到函數y=sin(2x+)+的圖像. 綜上得到y=cos2x+sinxcosx+1的圖像. 說明:本題是2000年全國高考試題.屬中檔偏容易題.主要考查三角函數的圖像和性質.這類題一般有兩種解法:一是化成關于sinx,cosx的齊次式.降冪后最終化成y=sin (ωx+)+k的形式.二是化成某一個三角函數的二次三項式.本題(1)還可以解法如下:當cosx=0時.y=1,當cosx≠0時.y=+1=+1 化簡得:2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0 ∵tanx∈R.∴△=3-8 ≥0,解之得:≤y≤ ∴ymax=.此時對應自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z} 例5．已知函數 (Ⅰ)將f(x)寫成的形式.并求其圖象對稱中心的橫坐標, (Ⅱ)如果△ABC的三邊a.b.c滿足b2=ac.且邊b所對的角為x.試求x的范圍及此時函數f(x)的值域. 解: (Ⅰ)由=0即即對稱中心的橫坐標為 (Ⅱ)由已知b2=ac 即的值域為. 綜上所述. . 值域為 . 說明:本題綜合運用了三角函數.余弦定理.基本不等式等知識.還需要利用數形結合的思想來解決函數值域的問題.有利于培養學生的運算能力.對知識進行整合的能力. 例6．在中.a.b.c分別是角A.B.C的對邊.且. (1)求的值, (2)若.且a=c.求的面積. 解:(1)由正弦定理及.有. 即.所以. 又因為..所以.因為.所以.又.所以. (2)在中.由余弦定理可得.又. 所以有.所以的面積為 . 例7．已知向量 .且. (1)求函數的表達式, (2)若.求的最大值與最小值. 解:(1)...又. 所以. 所以.即, 可得.令導數.解得.列表如下: t -1 1 (1.3) 導數 0 - 0 + 極大值遞減極小值遞增而所以. 例8．已知向量. (1) 求的值, 若的值. 解:(1)因為所以又因為.所以. 即, (2) . 又因為.所以 . .所以.所以例9．平面直角坐標系有點 (1) 求向量和的夾角的余弦用表示的函數, (2) 求的最值. 解:(1). 即 (2) . 又 . . . . 說明:三角函數與向量之間的聯系很緊密.解題時要時刻注意. 【查看更多】

（1）已知函數f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數a，x₀（x₀≠3，保留4位有效數字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲線y=x+ $數學公式$ （p≠0）上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求實數p的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，就函數y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數f（x）=xlnx有如下性質：在區間 $數學公式$ 上單調遞減，在區間 $數學公式$ 上單調遞增．解題過程中可以利用；②將根據提出和解決問題的不同層次區別給分．）

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解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為R(x)＝3700x＋45x²－10x³(單位：萬元)，成本函數為C(x)＝460x＋5000(單位：萬元)，又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．

(Ⅰ)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；(提示：利潤＝產值－成本)

(Ⅱ)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

(Ⅲ)求邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

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定義：對于任意x∈[0，1]，函數f（x）≥0恒成立，且當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱f（x）為G函數．已知函數g（x）=x²與h（x）=a-2^x-1是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，利用函數圖象討論方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的個數情況．

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定義：對于任意x∈[0，1]，函數f（x）≥0恒成立，且當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱f（x）為G函數．已知函數g（x）=x²與h（x）=a-2^x-1是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，利用函數圖象討論方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的個數情況．

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已知R，函數．