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設函數（），其中．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求函數的極大值和極小值．

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一、             選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

CDAB   CDAB     ABBA

二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13、                   14、

15、                               16、

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17、解、由題得，則

0

2

0

遞增

極大值

遞減

當時，；當時，；當時，

所以，當時，；當時，

18、解、（1）設甲投球一次命中為事件A，；設乙投球一次命中為事件B，

則甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的概率

答：甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的概率為。

（2）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的對立面是這四次投球中無一次命中，

所以甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的的概率是

答：甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的的概率是。

19、解、（1）中，

（2）以分別為軸，如圖建立直角坐標系，設

則

所以與平面所成的角為。

20、解：（1）∵

依題意得   ∴                     

（2）設第r +1項含x³項，

則 

∴第二項為含x³的項：T₂=-2=-18x³

21、解、（1）設，若

得，又，所以

得，而，所以無解。即直線與直線不可能垂直。

（2）

所以的范圍是。

22、（Ⅰ）解：當時，，得，且

，．

所以，曲線在點處的切線方程是，整理得

．。

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．

由于，以下分兩種情況討論．

（1）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且

；

函數在處取得極大值，且

．

（2）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且

；

函數在處取得極大值，且

．

（Ⅲ）證明：由，得，當時，

，．

由（Ⅱ）知，在上是減函數，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

設，則函數在上的最大值為．

要使①式恒成立，必須，即或．

所以，在區間上存在，使得對任意的恒成立．