Question

設(shè)函數(shù)（），其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；

（3）當(dāng)， 時(shí)，若不等式對(duì)任意的恒成立，求的值。

Answer 1

解：當(dāng)時(shí)，，得，且

，．                         1分

所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得

．                                            3分

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．                        4分

由于，以下分兩種情況討論．

（1）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且；

函數(shù)在處取得極大值，且．                   6分

（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且；

函數(shù)在處取得極大值，且．           8分

（Ⅲ）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，

，．

由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使，

只要

即　　　　　　　　①                10分

設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為．

要使①式恒成立，必須，即或．

所以，在區(qū)間上存在，使得對(duì)任意的恒成立．                                                        12分