注意:上述等號“＝成立的條件, 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

設a、b是兩個向量，對不等式0≤|a+b|≤|a|+|b|給出下列四個結論：
①不等式左端的不等號“≤”只能在a＝b＝0時取等號“＝”；
②不等式左端的不等號“≤”只能在a與b不共線時取不等號“＜”；
③不等式右端的不等號“≤”只能在a與b均非零且同向共線時取等號“＝”；
④不等式右端的不等號“≤”只能在a與b不共線時取不等號“＜”．
其中正確的結論有

設n為自然數，f(n)＝1＋＋＋…＋

(1)試證：若m、n∈N*且m＜n，則f(n)≥f(m)＋，并指出取等號的條件；

(2)計算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，觀察上述結果，推測一般的不等式，并用數學歸納法證明．

已知基本不等式：≥(a、b都是正實數，當且僅當a＝b時等號成立)可以推廣到n個正實數的情況，即對于n個正實數a₁，a₂，a₃，…，a_n，有≥(當且僅當a₁＝a₂＝a₃＝…＝a_n時，取等號)．

同理，當a、b都是正實數時，(a＋b)(＋)≥2ab·2·＝4，可以推導出結論：對于n個正實數a₁，a₂，a₃，…，a_n有(a₁＋a₂＋a₃)(＋＋)≥________；(a₁＋a₂＋a₃＋a₄)(＋＋＋)≥________；(a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n)(＋＋＋…)≥________；

如果對于n個同號實數a₁，a₂，a₃，…，a_n(同正或者同負)，那么，根據上述結論，(a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n)(＋＋＋…)的取值范圍是________．

一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖1所示的虛線裁下剪開，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器．

（1）試建立容器的容積V與x的函數關系式，并求出函數的定義域．
（2）記四棱錐（如圖2）的側面積為S′，定義

S′

為四棱錐形容器的容率比，容率比越大，用料越合理．
如果對任意的a，b∈R⁺，恒有如下結論：ab≤

a2+b2

，當且僅當a=b時取等號．試用上述結論求容率比的最大值，并求容率比最大時，該四棱錐的表面積．

請先閱讀：
設平面向量

=（a₁，a₂），

=（b₁，b₂），且

與

的夾角為θ，
因為

•

|cosθ，
所以

•

≤|

|．
即a1b1+a2b2≤

，
當且僅當θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結合空間向量，證明：對于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(

)(

)成立；
（II）試求函數y=

2x-2

8-3x

的最大值．

同步練習冊答案

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