查看答案和解析>>

已知數列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0），b_n=a_n+2ⁿ，n=1，2，3，…．
（I）求證數列是等差數列；
（II）試比較b₁b₃與b₂²的大小；
（III）求正整數k，使得對于任意的正整數n，≤恒成立．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、              選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

C

A

B

C

A

D

C

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

(9)7    (10)2    (11)     (12)2,12π    (13)1,    (14)⑤

三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）

（15）（本小題共12分）

解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx+(2cos²x1)

=sin2x+cos2x …………………………………………2分（化對一個給一分）

=2sin(2x+)………………………………………………………………………3分

x

ωx+

0

2

f(x)

0

2

0

2

0

…………………………………………………………………………………………6分

（x的值對兩個給一分，全對給2分，不出現0.5分.f(x)的值全對給1分）

圖象略.（圖象完全正確給分）………………………………………………………8分

（Ⅱ）由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈) …………………………………………9分

得kπ+ ≤x≤kπ+(k∈)

單調減區間為(k∈)………………………………………12分

注：(k∈)也可以
（16）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）證明：連接AC₁，設AC₁∩A₁C=E，連接DE…………………………1分

∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，且AC=AA₁=

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中點，

又D為AB中點  ∴ED∥BC₁…………………………………………3分

又ED平面A₁CD，BC₁平面A₁CD

∴BC₁∥平面A₁CD………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：設H是AC中點，F是EC中點，連接

DH，HF，FD……………………………6分

∵D為AB中點，

∴DH∥BC，同理可證HF∥AE，又AC⊥CB，

故DH⊥AC

又側棱AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥DH  ∴DH⊥平面AA₁C₁C………8分

由（Ⅰ）得AA₁C₁C是正方形，則A₁C⊥AE

∴A₁C⊥HF

∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，

∴DF⊥A₁C

∴∠DFH是二面角A-A₁C-D的平面角…10分

又DH=，…………………………………12分

∴在直角三角形DFH中，……………13分

∴二面角A-A₁C-D的大小為………………………………14分

法二：在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∵AC⊥CB ∴分別以CA,CB,CC₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz.因為BC=1，AA₁=AC=，則C(0，0，0)，A（，0，0），A₁（，0，），B（0，1，0），，… 7分設平面A₁DC的法向量為n=(x，y，z)，則

…………………………………8分

∵=，=（，0，），

∴  則，……9分

取x=1，得平面A₁DC的一個法向量為n=(1，，1).…………10分

m==（0，1，0）為平面CAA₁C₁的一個法向量.…………………11分

  ………………………………12分
由圖可知，二面角A-A₁C-D的大小為……………………14分

（17）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），……1分

則，……3分

化簡可得（x5）²+y²=16即為所求……5分

（Ⅱ）曲線C是以點（5，0）為圓心，4為半徑的

圓，如圖則直線l₂是此圓的切線，連接CQ，則

|QM|=…7分

當CQ⊥l₁時，|CQ|取最小值 …………………………………………8分

|CQ|=……10分（公式、結果各一分）

此時|QM|的最小值為，…………………………………12分

這樣的直線l₂有兩條，設滿足條件的兩個公共點為M₁，M₂，

易證四邊形M₁CM₂Q是正方形

∴l₂的方程是x=1或y=4……………………………………………14分

（18）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）無故障使用時間不超過一年的概率為，

無故障使用時間超過一年不超過三年的概率為，

無故障使用時間超過三年的概率為，…………1分

設銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的事件為A……2分

………………………………………………………7分

答：銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的概率為.

（Ⅱ）設銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元的事件為B……8分

…………12分（兩類情況，每類2分）

……………………………………………………………13分

答：銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元的概率為.

（19）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）由已知可得

，……………………………………………………………2分

所以a=2，b=1，…………………………………………………………3分

橢圓方程為 …………………………………………………4分

（Ⅱ）α+β是定值π ……………………………………………………5分

由（Ⅰ），A₂（2，0），B（0，1），且l∥A₂B

所以直線l的斜率，……………………………………6分

設直線l的方程為y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

 …………………………………………………………7分

∴Δ=4m²4(2m²2)=84m²≥0，即≤m≤…………………8分

 …………………………………………………………9分

∵P、Q兩點不是橢圓的頂點 ∴α≠、β≠

∴…………………………10分

又因為y₁=x₁+m，y₂=x₂+m

=

=

∴  又α，β∈（0，π）

∴α+β∈（0，2π）

∴α+β=π是定值.…………………………………………………………14分

（20）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）

，

即數列是以0為首項，1為公差的等差數列……………………3分

且，a_n=(n1)qⁿ  (n=1，2，3，…)

（Ⅱ）b_n=a_n+2ⁿ=(n-1)qⁿ+2ⁿ ……………………………………………………4分

∴b₁=2,b₂=q²+4,b₃=2q³+8…………………………………………………5分

∴b₁b₃=(q²+4)²2(2q³+8)=(q⁴+8q²+16) 4q³16

=q⁴4q³+8q²=q²(q²4q+8)=q²[(q2)²+4]>0

∴>b₁b₃…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）∵b_n=(n1)qⁿ+2ⁿ，n=1，2，3…，∴b_n >0

b₁=2，b₁=q²+4，b_n+1=nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

，

又

………………………………………9分

①當n=1時，b₂b_nb₁b_n+1，即

②當n≥2時，∵q>0,q²+4≥2?q?2=4q

∴(q²+4)(n1) 2nq≥4(n1)q2nq=2(n-2)q≥0又q²?2ⁿ>0

∴b₂b_nb₁b_n+1>0

由①②得≥0，即對于任意的正整數n, ≤恒成立

故所求的正整數k=1.…………………………………………………………13分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.