Question

已知數列{a_n}是首項a₁=1的等差數列，其前n項和為S_n，數列{b_n}是首項b₁=2的等比數列，且b₂S₂=16，b₁b₃=b₄．
（1）求a_n和b_n；
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+k•b_k（k=1，2，3，…），若數列{c_n}的前n項和為T_n，試比較T_2n+1-13n與（2n-2）b_n的大�。�

Answer 1

分析：（1）先設出公差和公比，結合b₂S₂=16，b₁b₃=b₄求出公差和公比即可得到a_n和b_n；
（2）先寫出T_n的表達式；再借助于分組求和以及錯位相減求和求出T_2n+1的表達式；最后對T_2n+1-13n與（2n-2）b_n做差，通過分類討論即可得到結論．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q，
則a_n=1+（n-1）d，b_n=2q^n-1，
由b₁b₃=b₄，得q=

b4

b3

=b1=2．
由b₂s₂=16=2q（2+d），解得d=2．
∴a_n=2n-1，b_n=2ⁿ．
（2）∵T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n）．
令A=b₁+2b₂+…+nb_n．
則A=2+2•2+3•2³+…+n•2ⁿ，
2A=2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．
∴-A=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2×(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹；
∴A=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
又S_2n=

2n(1+a2n)

2

=4n²．
∴T_2n+1=1+4n²+n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2=3+4n²+（n-1）2ⁿ⁺¹．
∴T_2n+1-13n-（2n-2）b_n=3+4n²+（n-1）2ⁿ⁺¹-13n-（2n-2）•2ⁿ=3+4n²-13n．
令3+4n²-13n=0⇒n=3或n=

1

4

．
令3+4n²-13n＜0⇒

1

4

＜n＜3；
令3+4n²-13n＞0⇒n＜

1

4

或n＞3．
又因為n是正整數，
所以：當n=1或2時T_2n+1-13n＜（2n-2）b_n；
n=3時，T_2n+1-13n=（2n-2）b_n；
當n＞3時，T_2n+1-13n＞（2n-2）b_n．

點評：本題主要考查等差數列以及等比數列的綜合問題．其中涉及到數列求和的錯位相減以及分組求和法，這是數列求和的常用方法，要熟練掌握．