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[例1]若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A.B兩點.M為AB的中點.直線OM(O為原點)的斜率為.且OA⊥OB.求橢圓的方程．分析:欲求橢圓方程.需求a.b.為此需要得到關于a.b的兩個方程.由OM的斜率為．OA⊥OB.易得a.b的兩個方程．解法1:設A(x1.y1).B(x2.y2).M(x0.y0)． ∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. 由 x+y=1. ax2+by2=1. ∴x0==.y0==1-=． ∴M(.)． ∵kOM=.∴b=a． ① ∵OA⊥OB.∴·=-1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2=.y1y2=(1-x1)(1-x2). ∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2 =1-+=． ∴+=0． ∴a+b=2． ② 由①②得a=2(-1).b=2(-1)． ∴所求方程為2(-1)x2+2(-1)y2=1．法2:由ax1+by1=1, ax2+by2=1相減得 ,即-下同法1．提煉方法:1．設而不求.即設出A(x1.y1).B(x2.y2).借助韋達定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,轉換出a,b的又一關系式,2．點差法得b=a．- [例2] 已知橢圓C:+＝1(a＞b＞0)的左．右焦點為F1.F2.離心率為e．直線,l:y＝ex+a與x軸．y軸分別交于點A.B.M是直線l與橢圓C的一個公共點.P是點F1關于直線l的對稱點.設＝λ． (Ⅰ)證明:λ＝1-e2, (Ⅱ)若.△MF1F2的周長為6,寫出橢圓C的方程, (Ⅲ)確定λ的值.使得△PF1F2是等腰三角形． (Ⅰ)證法一:因為A.B分別是直線l:與x軸.y軸的交點.所以A.B的坐標分別是．所以點M的坐標是()．由即．證法二:因為A.B分別是直線l:與x軸.y軸的交點.所以A.B的坐標分別是設M的坐標是所以因為點M在橢圓上.所以即解得 (Ⅱ)當時..所以由△MF1F2的周長為6.得所以橢圓方程為 (Ⅲ)解法一:因為PF1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角.要使△PF1F2為等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|.即設點F1到l的距離為d.由得所以即當△PF1F2為等腰三角形．解法二:因為PF1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角.要使△PF1F2為等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|. 設點P的坐標是. 則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時除以4a2.化簡得從而于是．即當時.△PF1F2為等腰三角形． [例3]求右焦點坐標是.且經過點的橢圓的標準方程, (2)已知橢圓的方程是．設斜率為的直線.交橢圓于兩點.的中點為．證明:當直線平行移動時.動點在一條過原點的定直線上, 所揭示的橢圓幾何性質.用作圖方法找出下面給定橢圓的中心.簡要寫出作圖步驟.并在圖中標出橢圓的中心．解:(1)設橢圓的標準方程為.. ∴ .即橢圓的方程為. ∵ 點()在橢圓上.∴ . 解得或(舍). 由此得.即橢圓的標準方程為． (2)設直線的方程為. 與橢圓的交點().(). 則有. 解得 . ∵ .∴ .即．則 . ∴ 中點的坐標為． ∴ 線段的中點在過原點的直線上． (3)如圖.作兩條平行直線分別交橢圓于.和.并分別取.的中點.連接直線,又作兩條平行直線分別交橢圓于.和.并分別取.的中點.連接直線.那么直線和的交點即為橢圓中心． [例4] 如圖,橢圓的右焦點為,過點的一動直線繞點轉動,并且交橢圓于.兩點, 為線段的中點． (1) 求點的軌跡的方程; (2) 若在的方程中,令確定的值,使原點距橢圓的右準線最遠．此時設與軸交點為,當直線繞點轉動到什么位置時,三角形的面積最大? 解:如圖 (1)設橢圓上的點.,又設點坐標為.則 ------② ------① 當不垂直軸時. 由①-②得當垂直于軸時.點即為點.滿足方程(*)．故所求點的軌跡的方程為: ． (2)因為,橢圓右準線方程是,原點距橢圓的右準線的距離為, 時,上式達到最大值,所以當時,原點距橢圓的右準線最遠．此時．設橢圓上的點., △的面積設直線的方程為,代入中,得由韋達定理得令,得,當取等號．因此,當直線繞點轉動到垂直軸位置時, 三角形的面積最大．特別提醒:注意這種直線方程的設法,適用于 “含斜率不存在,而無斜率為零的情況 . [研討．欣賞](1)已知點P的坐標是.F是橢圓的右焦點,點Q在橢圓上移動.當取最小值時.求點Q的坐標.并求出其最小值. (2)設橢圓的中心是坐標原點.長軸在x軸上.離心率為.已知點P到這個橢圓上的點的最遠距離是.求這個橢圓的方程.并求橢圓上到點P的距離是的點的坐標. 解(1)由橢圓方程可知a=4,b=,則c=2,, 橢圓的右準線方程為x=8 過點Q作QQ’于點Q’, 過點P作PP’于點P’,則據橢圓的第二定義知, , 易知當P.Q.Q’在同一條線上時.即當Q’與P’點重合時.才能取得最小值.最小值為8-(-1)=9.此時點Q的縱坐標為-3.代入橢圓方程得. 因此,當Q點運動到處時, 取最小值9． (2)設所求的橢圓的直角坐標方程是．由,解得,設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d．則其中,如果, 則當y=-b時,d2取得最大值解得b=與矛盾, 故必有當時d2取得最大值. 解得b=1,a=2 所求橢圓方程為．由可得橢圓上到點P的距離等于的點為,．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為

，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，且|AB|=2

，又M為AB的中點，若O為坐標原點，直線OM的斜率為

，求該橢圓的方程．

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若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為

，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為