Question

若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，且|AB|=2

2

，又M為AB的中點，若O為坐標原點，直線OM的斜率為

2

2

，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀）．聯立

ax2+by2=1 x+y=1

，化為（a+b）x²-2bx+b-1=0，
利用根與系數的關系和中點坐標公式可得OM的斜率=

y0

x0

=

2

2

，再利用弦長公式可得2

2

=|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

，聯立解得即可．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀）．
聯立

ax2+by2=1 x+y=1

，化為（a+b）x²-2bx+b-1=0，
∵直線與橢圓相交于不同的兩點，
∴△=4b²-4（a+b）（b-1）＞0，（*）
∴x1+x2=

2b

a+b

，x1x2=

b-1

a+b

．
∴x0=

x1+x2

2

=

b

a+b

，
y₀=1-x₀=1-

b

a+b

=

a

a+b

．
∴OM的斜率=

y0

x0

=

a

b

=

2

2

，即b=

2

a．
又2

2

=|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( 2b a+b )2- 4(b-1) a+b ]

，
化為（a+b）²=a+b-ab，
聯立

b= 2 a (a+b)2=a+b-ab

，
解得

a= 1 3 b= 2 3

，滿足（*）
∴該橢圓的方程為：

x2

3

+

2 y2

3

=1．

點評：不同考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、中點坐標三個、弦長公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．