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在三角形ABC中，已知AB=4，AC=2，內(nèi)角A的平分線長AD=

4 3

3

，則BC=（　　）

給出下列五個(gè)命題：
①若集合A={x|ax²+2x+1=0}中只有一個(gè)元素，則a=1；
②圖象不經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）的冪函數(shù)，一定不是偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）=0在（a，b）內(nèi)只有唯一實(shí)根；
④設(shè)θ是第二象限角，則tan

θ

2

＞cos

θ

2

，且sin

θ

2

＞cos

θ

2

；
⑤設(shè)O使△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|

AB

|=

3

，|

AC

|=1，則 

AD

•(

AB

-

AC

)=1．
其中正確命題序號(hào)為．

給出下列五個(gè)命題：
①若集合A={x|ax²+2x+1=0}中只有一個(gè)元素，則a=1；
②圖象不經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）的冪函數(shù)，一定不是偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）=0在（a，b）內(nèi)只有唯一實(shí)根；
④設(shè)θ是第二象限角，則tan

θ

2

＞cos

θ

2

，且sin

θ

2

＞cos

θ

2

；
⑤設(shè)O使△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|

AB

|=

3

，|

AC

|=1，則 

AD

•(

AB

-

AC

)=1．
其中正確命題序號(hào)為______．

如圖，已知△ABC中，∠C=

π

2

．設(shè)∠CBA=θ，BC=a，它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設(shè)△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．
（1）用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
（2）設(shè)f(θ)=

T

S

，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時(shí)△ABC的形狀；
（3）通過對(duì)此題的解答，我們是否可以作如下推斷：若需要從一塊直角三角形的材料上裁剪一整塊正方形（不得拼接），則這塊材料的最大利用率要視該直角三角形的具體形狀而定，但最大利用率不會(huì)超過第（2）小題中的結(jié)論P(yáng)．請(qǐng)分析此推斷是否正確，并說明理由．