Question

給出下列五個命題：
①若集合A={x|ax²+2x+1=0}中只有一個元素，則a=1；
②圖象不經過點（-1，1）的冪函數，一定不是偶函數；
③函數f（x）在[a，b]上連續，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）=0在（a，b）內只有唯一實根；
④設θ是第二象限角，則tan

θ

2

＞cos

θ

2

，且sin

θ

2

＞cos

θ

2

；
⑤設O使△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|

AB

|=

3

，|

AC

|=1，則 

AD

•(

AB

-

AC

)=1．
其中正確命題序號為

②⑤

．

Answer 1

分析：由函數和集合以及三角函數和向量的知識，逐個判斷即可，其中錯誤的可舉反例來說明．

解答：解：當a=0時，集合A={-

1

2

}，滿足只有一個元素故選項①錯誤；
因為冪函數的圖象都過點（1，1），若為偶函數一定過點（-1，1），故②正確；
由根的存在性定理可知有根，但個數不確定，故③錯誤；
④錯誤，比如當θ=

11π

4

時，為第二象限角，但

θ

2

=

11π

8

＞

5π

4

，在第三象限，
有sin

θ

2

＜cos

θ

2

成立；
⑤正確，因為O為△ABC的外心，可得OB=OC，又OD⊥BC于D，可得D為BC的中點，
故

AD

•(

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

2-

AC

2)=1，
故答案為：②⑤

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及函數和集合以及三角函數和向量，屬基礎題．