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例1．在處可導.則思路: 在處可導.必連續 ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a處可導.且f′(a)=b.求下列極限: (1), (2) 分析:在導數定義中.增量△x的形式是多種多樣.但不論△x選擇哪種形式.△y也必須選擇相對應的形式.利用函數f(x)在處可導的條件.可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數定義的結構形式. 解:(1) (2) 說明:只有深刻理解概念的本質.才能靈活應用概念解題.解決這類問題的關鍵是等價變形.使極限式轉化為導數定義的結構形式. 例3．觀察...是否可判斷.可導的奇函數的導函數是偶函數.可導的偶函數的導函數是奇函數. 解:若為偶函數令 ∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數另證: ∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數例4．(1)求曲線在點(1.1)處的切線方程, (2)運動曲線方程為.求t=3時的速度. 分析:根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知.函數y=f(x)在處的導數就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率.瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數. 解:(1). .即曲線在點(1.1)處的切線斜率k=0 因此曲線在(1.1)處的切線方程為y=1 (2) . 例5．求下列函數單調區間 (1) (2) (3) (4) 解:(1) 時 ∴ . (2) ∴ . (3) ∴ ∴ . . (4) 定義域為例6．求證下列不等式 (1) (2) (3) 證:(1) ∴ 為上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 (2)原式令 ∴ ∴ ∴ (3)令 ∴ ∴ 例7．利用導數求和: (1), (2). 分析:這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決.轉換思維角度.由求導公式.可聯想到它們是另外一個和式的導數.利用導數運算可使問題的解決更加簡捷. 解:(1)當x=1時. , 當x≠1時. ∵. 兩邊都是關于x的函數.求導得即 (2)∵. 兩邊都是關于x的函數.求導得. 令x=1得 . 即. 例8．設.求函數的單調區間. 分析:本小題主要考查導數的概念和計算.應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力. 解:. 當時 . (i)當時.對所有.有. 即.此時在內單調遞增. (ii)當時.對.有. 即.此時在(0.1)內單調遞增.又知函數在x=1處連續.因此. 函數在(0.+)內單調遞增 (iii)當時.令.即. 解得. 因此.函數在區間內單調遞增.在區間內也單調遞增. 令.解得. 因此.函數在區間內單調遞減. 例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A.B兩點.過A.B兩點的切線分別為和. (1)求A.B兩點的坐標, (2)求直線與的夾角. 分析:理解導數的幾何意義是解決本例的關鍵. 解 (1)由方程組解得 A (2)由y′=2x.則..設兩直線的夾角為θ.根據兩直線的夾角公式. 所以說明:本例中直線與拋物線的交點處的切線.就是該點處拋物線的切線.注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號. 例10．設.是上的偶函數. (I)求的值, (II)證明在上是增函數. 解:(I)依題意.對一切有.即. ∴對一切成立. 由此得到.. 又∵.∴. (II)證明:由.得. 當時.有.此時.∴在上是增函數. 【查看更多】

已知函數在處可導，則等于