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已知函數的定義域為R，其導數滿足0＜＜1．設a是方程＝x的根．
（Ⅰ）當x＞a時，求證：＜x；
（Ⅱ）求證：|－|＜|x₁－x₂|（x₁，x₂∈R，x₁≠x₂）；
（Ⅲ）試舉一個定義域為R的函數，滿足0＜＜1，且不為常數．

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已知定義在R上的函數滿足：對任意x∈R，都有成立，且當時，(其中為的導數).設，則a，b，c三者的大小關系是（   ）

A．

B．

C．

D．

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一、選擇題：每小題5分，滿分60分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

A

A

A

A

B

D

D

B

C

C

二、填空題：每小題5分，滿分20分.

13．

14．　

15．

16．①③④

三、解答題

17．設兩個實數為a，b，，，建立平面直角坐標系aOb， 則點在正方形OABC內       ……… 2分

(Ⅰ) 記事件A“兩數之和小于1.2”，即，則滿足條件的點在多邊形OAEFC內

所以                                    ……… 6分

(Ⅱ) 記事件B“兩數的平方和小于0.25”，則滿足條件的點在扇形內

所以                                                                    ………10分

18．∵m?n ∴                                ……… 4分

　　再由余弦定理得：

（Ⅰ）由得，故                      ……… 8分

（Ⅱ）由得

解得，所以的取值范圍是         ………12分

19．（Ⅰ）連接，交于，易知為、中點，故在△中，為邊的中位線，故∥，平面，平面，所以∥平面            ……… 5分

（Ⅱ）在平面內過點作⊥，垂足為H，

∵平面⊥平面，且平面∩平面，

∴⊥平面，∴⊥，                                 ……… 8分

又∵，為中點，∴⊥

∴⊥平面，∴⊥，又∵，

∴⊥平面．                                                           ………12分

20．（Ⅰ）∵是各項均為正數的等差數列，且公差

∴　∴           ……… 3分

∴為常數，∴是等差數列           ……… 5分

（Ⅱ）∵，∴

∴是公差為1的等差數列                                       ……… 7分

∴，∴       ……… 9分

當時，                                   ………10分

當時，

綜上，                                                               ………12分

21．（Ⅰ）                                                                       ……… 4分

（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等……… 5分

⑴當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為，

．                                                       ……… 6分

⑵當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，

．                                                       ……… 7分

⑶當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，、

P在橢圓上，.......①；R在橢圓上，......②

利用Rt△POR可得　                              ……… 9分

即　

整理得　．                                               ………11分

再將①②帶入，得

綜上當時，有．                                       ………12分

22．（Ⅰ）∵，且，∴

∴在上， 和變化情況如下表：

x

０

１

＋

０

－

↑

b

↓

                                                                                            ……… 2分

∵函數在上的最大值為1，

∴，此時應有 ∴

∴，                                                                  ……… 4分

（Ⅱ）                                                                             ……… 6分

所求切線方程為                                             ……… 8分

（Ⅲ）                                   ………10分

設

△     

∴當時，函數的無極值點

當時，函數有兩個極值點                 ………12分