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當n=1時，有（a-b）（a+b）=a²-b²；當n=2時，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；當n=3時，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；當n=4時，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；當n∈N^*時，可歸納出的結論是．

已知函數f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2
（1）求f（0）的值
（2）設s，t∈[0，1]，且s＜t，求證：f（s）≤f（t）
（3）試比較f(

1

2n

)與

1

2n

+2（n∈N）的大小；
（4）某同學發現，當x=

1

2n

（n∈N）時，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

（2009•孝感模擬）已知函數f（x）=

1

2

x²-x+2，數列{a_n}滿足遞推關系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用數學歸納法證明：當n≥5時，a_n＜2-

1

n-1

；
（3）證明：當n≥5時，有

n

k=1

1

ak

＜n-1．

對正整數n≥2，記an=

n-1

i=1

n

n-i

•

1

2i-1

（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）求證：當n≥5時，有an≤

10

3

．