如圖，Rt△ACB和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°，∠ABC=∠BAD，邊AD與BC相交于點E．
（1）在圖1中，求證：AC=BD；
（2）當Rt△ACB沿BC方向平移到圖2所示位置時，邊A₁C₁與AB邊交于點F．過點F作FG⊥AD于點G．此時請你通過觀察、測量和猜想．寫出FG+FC₁與BD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
（3）當Rt△ACB沿BC方向平移到圖3所示的位置（點C₁在線段BE上，且點C₁與點B不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

（2012•煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點的拋物線y=ax²+bx+c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動．同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P，Q的運動速度均為每秒1個單位．運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．
（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．

（2012•鐵嶺）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x軸上，點A的坐標（-1，0），點B在y軸的正半軸上，BC=OB．
（1）求過點A、B、C的拋物線的解析式；
（2）動點E從點B（不包括點B）出發(fā)，沿BC運動到點C停止，在運動過程中，過點E作EF⊥AD于點F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊，得到四邊形A₁B₁EF，點A、B的對應(yīng)點分別是點A₁、B₁，設(shè)四邊形A₁B₁EF與梯形ABCD重合部分的面積為S，F(xiàn)點的坐標是（x，0）．
①當點A₁落在（1）中的拋物線上時，求S的值；
②在點E運動過程中，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．