Question

如圖，Rt△ACB和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°，∠ABC=∠BAD，邊AD與BC相交于點E．
（1）在圖1中，求證：AC=BD；
（2）當Rt△ACB沿BC方向平移到圖2所示位置時，邊A₁C₁與AB邊交于點F．過點F作FG⊥AD于點G．此時請你通過觀察、測量和猜想．寫出FG+FC₁與BD之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；
（3）當Rt△ACB沿BC方向平移到圖3所示的位置（點C₁在線段BE上，且點C₁與點B不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

Answer 1

（1）證明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（AAS），
∴AC=BD；

（2）FG+FC₁=BD；理由為：
證明：過點F作FH⊥BD于點H（如圖2），
∵FG⊥AD于點G，∠D=90°，
∴四邊形FGDH為矩形，
∴FG=HD，DG∥FH，
∴∠DAB=∠HFB，
∵∠DAB=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFB，
在△C₁FB≌△HBF中，

∴△C₁FB≌△HBF（AAS），
∴C₁F=HB，
∴GF+C₁F=DH+HB=BD，即FG+FC₁=BD；

（3）仍然成立．關系式為FG+FC₁=BD，理由為：
證明：過點F作FH⊥BD于點H（如圖3），
∵FG⊥AD于點G，∠D=90°，
∴四邊形FGDH為矩形，
∴FG=HD，DG∥FH
∴∠DAB=∠HFB，
∵∠DAB=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFB，
在△C₁FB≌△HBF中，

∴△C₁FB≌△HBF（AAS），
∴C₁F=HB，
∴GF+C₁F=DH+HB=BD，即FG+FC₁=BD．
分析：（1）由已知的兩對角相等，加上公共邊AB=BA，利用AAS得出三角形ABC與三角形ABD全等，由全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）FG+FC₁=BD；理由為：過F作FH垂直于BD，由三個角為直角的四邊形為矩形得到GFHD為矩形，可得FG=DH，DG與FH平行，由平行得到一對同位角相等，再由平移的性質及已知的兩角相等得到一對角相等，再由一對直角相等及FB為公共邊，利用AAS可得出三角形C₁FB與三角形HBF全等，由全等三角形的對應邊相等得到C₁F=HB，等量代換即可得證；
（3）當Rt△ACB沿BC方向平移到圖3所示的位置（點C₁在線段BE上，且點C₁與點B不重合）時，（2）中的猜想仍然成立，證明方法同理．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，平移的性質，以及矩形的判額定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．