題目列表(包括答案和解析)
題 號
1
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6
7
8
9
10
答 案
11. 
；
12. 
；
13．
或
或
； 14.
； 15．
.
三、解答題（本大題共6小題，共75分）
16．（本小題滿分12分）
已知向量
，
（
，
）.函數
，
的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為
，且過點
.
（Ⅰ）求函數
的表達式；
（Ⅱ）當
時，求函數的單調區間。
【解】（Ⅰ）
…………3′
由題意得周期
，故
.…………4′
又圖象過點，∴
即
，而，∴
，∴
………6′
（Ⅱ）當時，
∴當
時，即
時，是減函數
當
時，即
時，是增函數
∴函數的單調減區間是
，單調增區間是
…………12′
17．（本小題滿分12分）
在某社區舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
.
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；
（Ⅱ）用
表示回答該題對的人數，求的分布列和數學期望
.
【解】（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件
、
、
，則
，且有
，即
∴
，
.…………6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）
，
.
的可能取值為：
、、
、
.
則
；
；
；
.…………9′
∴的分布列為
的數學期望
.…………12′
18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱
各棱長都為
，為棱
上的動點。
（Ⅰ）試確定
的值，使得
；（Ⅱ）若
，求二面角
的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點
到面
的距離。
【法一】（Ⅰ）當時，作在
上的射影. 連結
.
則
平面
，∴
，∴是的中點，又
，∴
也是
的中點，
即
. 反之當時，取
的中點
，連接
、
.
∵
為正三角形，∴
. 由于為的中點時，
∵
平面
，∴
平面，∴
.……4′
（Ⅱ）當時，作在上的射影. 則
底面.
作在
上的射影
，連結
，則
.
∴
為二面角的平面角。
又∵，∴
，∴
.
∴
，又∵
，∴
.
∴
，∴的大小為
.…8′
（Ⅲ）設到面的距離為
，則
，∵，∴
平面
,
∴
即為點到平面的距離，
又
，∴
.
即
，解得
.即到面的距離為
.……12′
【法二】以為原點，為
軸，過點與垂直的直線為
軸，
為
軸，建立空間直角坐標系
，如圖所示，
設
，則
、
、
.
（Ⅰ）由
得
，
即
，∴
，即為的中點，
也即時，.…………4′
（Ⅱ）當時，點的坐標是
. 取
.
則
，
.
∴
是平面的一個法向量。
又平面的一個法向量為
.
∴
，∴二面角
的大小是
.……8′
（Ⅲ）設到面的距離為，則
，∴到面的距離為.…12′
19．（本小題滿分12分）
已知函數
.
（Ⅰ）求函數的單調區間和極值；
（Ⅱ）若
對滿足
的任意實數恒成立，求實數
的取值范圍（這里
是自然對數的底數）；
（Ⅲ）求證：對任意正數、
、
、
，恒有
.
【解】（Ⅰ）
∴的增區間為
，減區間為
和
.
極大值為
，極小值為
.…………4′
（Ⅱ）原不等式可化為
由（Ⅰ）知，時，
的最大值為
.
∴
的最大值為
，由恒成立的意義知道
，從而
…8′
（Ⅲ）設
則
.
∴當
時，
，故
在
上是減函數，
又當、、、是正實數時，
∴
.
由的單調性有：
，
即
.…………12′
20．（本小題滿分13分）
如圖，已知曲線
與拋物線
的交點分別為、，曲線
和拋物線
在點處的切線分別為
、
，且、的斜率分別為
、
.
（Ⅰ）當
為定值時，求證
為定值（與
無關），并求出這個定值；
（Ⅱ）若直線與軸的交點為
，當
取得最小值
時，求曲線和的方程。
【解】（Ⅰ）設點的坐標為
，
由
得：
則
，∴
…………2′
由
得
，∴ 
…………4′
∴
又∵
，
，∴
.
∴
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